如图所示，平板电容器中部分填充了介电常数为：的介质。 •若下极板接地，上极板接电位么。 怱略边 缘效应，试利用直接积分法求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。如果填充的是电导率为。的 导电媒质，，根据静电比拟法，电容器的漏电导是多少？

对于这个问题，我们可以利用直接积分法解决。首先，我们可以先画出电容器的模型：

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其中，上下平行的两条横线分别为电容器的两个极板，中间填充了介电常数为 $\epsilon_r$ 的介质。我们可以假设电容器的高度为 $h$，宽度为 $d$，那么可以利用直接积分法求出电容器内的电场分布：

$$
E = -\frac{dV}{dx} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon_r}
$$

其中，$\sigma$ 是极板上的电荷密度。由于电场是连续的，因此我们可以得到：

$$
E(x) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0 \epsilon_r} \left(\frac{h}{2} - |x-\frac{d}{2}|\right)
$$

利用这个公式，我们可以求出电容器内的电位分布：

$$
V(x) = -\int E(x) dx = \frac{\sigma}{4\epsilon_0 \epsilon_r} (h|x-\frac{d}{2}| - (x-\frac{d}{2})^2 + \frac{h^2}{4})
$$

由于下极板接地，我们可以得到：

$$
V(x = 0) = 0
$$

由此，可以求出极板上的电荷密度：

$$
\sigma = \frac{4\epsilon_0 \epsilon_r V_0}{h}
$$

其中，$V_0$ 是极板上的电势差。由此，可以计算出电容器的电容：

$$
C = \frac{Q}{V_0} = \frac{\sigma S}{V_0} = \frac{4\epsilon_0 \epsilon_r S}{h}
$$

其中，$S$ 是极板的面积。如果填充的介质是电导率为 $\sigma_c$ 的导体，那么我们可以利用静电比拟法将其等效为一块电导率为 $\sigma_c$ 的无限大导体。那么漏电导就等于导体表面的电导率，即：

$$
G = \sigma_c S
$$