已知frame坐标系某个坐标轴的方向向量，怎么求由frame系到world系的坐标变换

要求由frame系到world系的坐标变换，需要知道frame系在world系的位置和方向。

假设frame系在world系的位置为 $p_w$，frame系的三个坐标轴单位向量为 $x_f, y_f, z_f$，则frame系到world系的变换矩阵为：

$$
T_{fw} = \begin{bmatrix}
x_{f,x} & y_{f,x} & z_{f,x} & p_{w,x} \\
x_{f,y} & y_{f,y} & z_{f,y} & p_{w,y} \\
x_{f,z} & y_{f,z} & z_{f,z} & p_{w,z} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

其中 $x_{f,x}, y_{f,x}, z_{f,x}$ 表示 $x_f$ 向量在world系下的坐标，$p_{w,x}, p_{w,y}, p_{w,z}$ 表示frame系在world系下的坐标。

如果已知frame坐标系某个坐标轴的方向向量 $v_f$ 在world系下的坐标 $v_w$，可以先求出 $z_f$ 的方向向量。假设 $z_f$ 的方向向量为 $v_f$，则有：

$$
z_f = \frac{v_f}{\lVert v_f \rVert}
$$

然后可以选择另外两个坐标轴的方向向量 $x_f, y_f$，使得它们与 $z_f$ 正交并且构成右手系。例如，可以选择 $v_f$ 和 $z_w=(0, 0, 1)$ 的叉积作为 $x_f$ 的方向向量，即：

$$
x_f = \frac{v_f \times z_w}{\lVert v_f \times z_w \rVert}
$$

然后可以选择 $y_f=z_f \times x_f$ 作为 $y_f$ 的方向向量。最后，还需要确定frame系在world系下的位置 $p_w$，可以通过给定的frame系某个点在world系下的坐标来求得。

将 $x_f, y_f, z_f, p_w$ 代入上面的变换矩阵中，就可以得到frame系到world系的坐标变换。