1 .实验题目 SAT 问题也称为合取范式的可满足问题,一个合取范式形如：A1∧ A2∧⋯∧ An ,子句 Ai (1 ≤i≤n)形如：a1∨a2∨⋯∨ak，其中, ai称为文字,为某一布尔变量或该布尔变量的非。SA T 问题 是指：是否存在一组对所有布尔变量的赋值( TRUE 或 FALSE) ,使得整个合取范式取值为真。 2 .实验目的 (1 ) 掌握 NP 完全问题的特点; (2 ) 理解这样一个观点：NP 完全问题的算法具有指数时间,而指数时间算法的计算时间随 着问题规模的增长而快速增长。 3 .实验要求 (1 ) 设计算法求解 SAT 问题; (2 ) 设定问题规模为 3、 5、 10、 20、 50 ,设计实验程序考察算法的时间性能。 4 .实现提示 假设 SAT 问题的规模为 n,则任一个长度为 n 的二进制串都是该问题的可能解。考虑最简 单的方法：将每一个长度为 n 的二进制串依次代入某个给定的合取范式中,直到该合取范式取 值为 TRUE,得到此问题的解,或将所有长度为 n 的二进制串依次检测后该合取范式的取值始终 为 FALSE,则此问题无解。 【算法 2】SAT 问题 1.将一个长度为 n 的二进制串 s 初始化为 00⋯0 ; 2.循环直到串 s 为 11⋯1 2.1 将二进制串 s 代入给定的合取范式中; 2.2 若合取范式取值为 TRUE ,则将串 s 作为结果输出,算法结束; 2.3 否则,将串 s 加 1; 3.输出 “无解” ; 对于合取范式,可以在程序运行中手工输入,可以作为算法 2.4 的参数通过调用程序传入, 也可以设计一个函数自动生成一个合取范式,具体算法请同学们自行设计。

为了实现 SAT 问题的算法，可以按照以下步骤进行：

1. 设计一个函数来检查一个给定的合取范式是否为真。这可以通过将合取范式中的布尔变量与其它变量的非进行赋值，然后计算整个合取范式的值来实现。

2. 设计一个函数来生成长度为 n 的二进制串，并将其初始化为 0。

3. 设计一个循环，将生成的二进制串代入给定的合取范式中，并检查该合取范式是否为真。如果是，则输出该二进制串并结束算法。

4. 如果合取范式为假，则将二进制串加 1，继续循环。

5. 如果二进制串已经达到 11...1，则输出 “无解” 。

下面是一个可能的 Java 实现：

import java.util.Scanner;

public class SAT {
    // 检查合取范式是否为真
    public static boolean check(boolean[][] clauses, boolean[] values) {
        for (boolean[] clause : clauses) {
            boolean result = false;
            for (boolean literal : clause) {
                boolean negated = literal < 0;
                int index = Math.abs(literal) - 1;
                boolean value = values[index];
                if (negated) {
                    value = !value;
                }
                result |= value;
            }
            if (!result) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 生成长度为 n 的二进制串，并将其初始化为 0
    public static boolean[] generate(int n) {
        boolean[] result = new boolean[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            result[i] = false;
        }
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 获取合取范式
        System.out.print("请输入合取范式的子句数：");
        int m = scanner.nextInt();
        System.out.print("请输入合取范式的变量数：");
        int n = scanner.nextInt();
        boolean[][] clauses = new boolean[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            System.out.print("请输入第 " + (i + 1) + " 个子句：");
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                clauses[i][j] = scanner.nextInt() > 0;
            }
        }

        boolean[] values = generate(n); // 初始化二进制串为 0
        boolean[] last = new boolean[n]; // 记录上一个二进制串
        while (true) {
            if (check(clauses, values)) {
                // 如果合取范式为真，则输出结果并结束算法
                System.out.print("找到解：");
                for (boolean value : values) {
                    System.out.print(value ? "1" : "0");
                }
                System.out.println();
                return;
            }

            // 将二进制串加 1
            int i = n - 1;
            while (i >= 0 && values[i]) {
                values[i] = false;
                i--;
            }
            if (i < 0) {
                // 如果二进制串已经达到 11...1，则输出 “无解” 并结束算法
                System.out.println("无解");
                return;
            }
            values[i] = true;

            // 如果二进制串没有改变，则说明已经遍历了所有可能的二进制串
            boolean same = true;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (values[j] != last[j]) {
                    same = false;
                    break;
                }
            }
            if (same) {
                System.out.println("无解");
                return;
            }
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                last[j] = values[j];
            }
        }
    }
}

在这个实现中，我们首先使用 `check` 函数来检查一个给定的合取范式是否为真。然后，我们使用 `generate` 函数来生成长度为 n 的二进制串，并将其初始化为 0。接着，我们使用一个循环来遍历所有可能的二进制串，并将其代入给定的合取范式中进行检查。如果找到了一个满足合取范式的二进制串，则输出结果并结束算法。如果遍历完所有可能的二进制串，仍然没有找到满足合取范式的二进制串，则输出 “无解” 并结束算法。