prim算法的贪心策略,证明prim算法构造的就是最小生成树
时间: 2023-06-18 09:08:45 浏览: 45
Prim算法是一种贪心算法,它的贪心策略是每次选取当前生成树的边集与剩余边集之间权值最小的边作为生成树的一条边,直到生成树包含所有顶点为止。
我们可以采用反证法证明Prim算法构造的就是最小生成树。
假设Prim算法构造的不是最小生成树,而是另一棵生成树T',则T'的权值和一定大于最小生成树T的权值和。
设T'与T的边集分别为E'和E,根据Prim算法的贪心策略,每次选取的边在E'和E之间一定是权值最小的边,因此,对于任意一条边e'∈E',一定存在一条边e∈E,使得e'的权值大于e的权值。
将T'中的一条边e'用e替换掉,得到一棵新的生成树T''。由于e的权值小于e'的权值,因此T''的权值和一定小于T'的权值和。
重复以上过程,直到T''等于T为止。因此,Prim算法构造的就是最小生成树。
综上所述,Prim算法的贪心策略可以保证构造出最小生成树。
相关问题
prim算法构造最小生成树
Prim算法是一种构造最小生成树的贪心算法。它从一个顶点开始,逐步将最短的边加入到生成树中,直到所有的顶点都被加入到生成树中。具体步骤如下:
1. 随机选择一个起始顶点,并将其加入到生成树中。
2. 遍历与当前生成树相邻的所有顶点,找到与这些顶点相连的最短边,将其加入到候选边集合中。
3. 从候选边集合中选择一条最短的边,并将其加入到生成树中。
4. 将新加入的顶点标记为已访问,并将其与生成树的边集合合并。
5. 重复步骤2-4,直到所有的顶点都被加入到生成树中。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV),其中E为边的数量,V为顶点的数量。它比Kruskal算法更适合于稠密图的最小生成树构造。
证明:prim算法产生一颗最小生成树
Prim算法是一种用于构造最小生成树的贪心算法。它通过逐步选择边来构建最小生成树,直到所有顶点都被包含在生成树中。下面是证明Prim算法产生一颗最小生成树的步骤:
1. 假设G是一个连通的加权无向图,V是图G的顶点集合,E是图G的边集合。
2. 初始化一个空的生成树T,选择一个起始顶点v作为生成树的根节点。
3. 重复以下步骤,直到生成树T包含了图G的所有顶点:
a. 在生成树T中选择一个顶点u,该顶点在生成树T中,但与生成树T中的顶点不相邻,并且与生成树T中的顶点相邻的边的权值最小。
b. 将边(u, v)添加到生成树T中,其中v是与u相邻的顶点。
4. 返回生成树T。
证明Prim算法产生一颗最小生成树的关键在于证明每一步选择的边都是当前生成树T的最小权值边。这可以通过反证法来证明。假设在某一步选择的边不是当前生成树T的最小权值边,那么存在一条更小权值的边可以替代它。但是根据Prim算法的选择规则,我们知道在每一步选择时都选择了权值最小的边,因此这个假设是不成立的。
因此,根据Prim算法的步骤和证明,可以得出结论:Prim算法产生的生成树是最小生成树。