给定一组拟合基函数 y=1,y=x,y=x^2,y=exp(x),y=cos(x),y=sin(x),试求其最小二乘拟合函数
时间: 2023-11-27 17:04:37 浏览: 88
最小二乘拟合函数可以表示为:
y = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*exp(x) + a4*cos(x) + a5*sin(x)
其中,a0, a1, a2, a3, a4, a5 是待求参数。
为了求出这些参数,我们需要构造一个方程组。假设有 n 个数据点,第 i 个数据点的坐标为 (xi, yi),则可以得到以下方程组:
```
y1 = a0 + a1*x1 + a2*x1^2 + a3*exp(x1) + a4*cos(x1) + a5*sin(x1)
y2 = a0 + a1*x2 + a2*x2^2 + a3*exp(x2) + a4*cos(x2) + a5*sin(x2)
...
yn = a0 + a1*xn + a2*xn^2 + a3*exp(xn) + a4*cos(xn) + a5*sin(xn)
```
将这个方程组写成矩阵形式,得到:
```
Y = X * A
```
其中,
```
Y = [y1, y2, ..., yn]^T
A = [a0, a1, a2, a3, a4, a5]^T
```
```
X = [1, x1, x1^2, exp(x1), cos(x1), sin(x1);
1, x2, x2^2, exp(x2), cos(x2), sin(x2);
...
1, xn, xn^2, exp(xn), cos(xn), sin(xn)]
```
为了求解参数 A,我们需要求出矩阵 X 的伪逆矩阵 X+,然后用 X+ 和 Y 计算 A,即:
```
A = X+ * Y
```
最终得到的 A 就是拟合函数的系数,将其代入拟合函数中即可得到最小二乘拟合函数。
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