matlab求解多自由度体系强迫振动采用振型叠加法采用正则坐标求解

首先，我们需要确定多自由度体系的动力学方程。假设有n个自由度，则动力学方程可以表示为：

Mq'' + Cq' + Kq = F(t)

其中，M、C、K分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，q是n维位移向量，F(t)是外力向量。

接下来，我们采用振型叠加法来求解该方程。假设存在m个振型，每个振型可以表示为：

Φi(t) = Ai sin(ωi t + φi)

其中，Ai、ωi、φi分别是振幅、频率和初相位。

我们可以将每个振型的位移向量表示为：

qi(t) = Φi(t) ui

其中，ui是n维正则坐标向量，满足：

uiT M ui = 1

将每个振型的位移向量代入动力学方程中，得到：

Σi (Mωi2 ui - Kui) Ai sin(ωi t + φi) = F(t)

对于任意时刻t，上式左边是已知的，右边是外力F(t)，因此我们可以通过线性代数的方法求解Ai、ωi、φi和ui。

最终，多自由度体系的位移可以表示为：

q(t) = Σi Φi(t) ui Ai

其中，Φi(t)是第i个振型在时刻t的位移向量，ui是第i个振型的正则坐标向量，Ai是第i个振型的振幅。

相关问题

matlab求解多自由度体系强迫振动采用振型叠加法

多自由度体系强迫振动的求解可以采用振型叠加法（Modal Superposition Method）。该方法基于振型理论，将多自由度系统的振动分解成若干个单自由度系统的振动，再将其组合成总振动。具体步骤如下：

1. 求解系统的固有振型和固有频率，即求解系统的特征值和特征向量。

2. 将外力表示为各个固有振型的叠加，即将外力投影到每个固有振型上。

3. 求解每个单自由度系统的响应，即求解每个单自由度系统的强迫响应和自由振动响应。

4. 将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应。

具体的数学公式可以表示为：

$$
x(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) \phi_i(t)
$$

其中，$x(t)$为系统的总响应，$c_i(t)$为第$i$个固有振型的振幅随时间变化的函数，$\phi_i(t)$为第$i$个固有振型的振动形式。

使用matlab进行多自由度体系强迫振动的求解，可以借助于matlab中的模态分析工具箱（Modal Analysis Toolbox）。具体步骤如下：

1. 定义系统的质量矩阵、刚度矩阵和外力矩阵。

2. 使用模态分析工具箱中的函数求解系统的固有频率和固有振型。

3. 将外力投影到每个固有振型上，得到投影矩阵。

4. 求解每个单自由度系统的响应，可以使用matlab中的ode45函数求解。

5. 将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应。

具体的matlab代码可以参考以下示例：

% 定义系统的质量矩阵、刚度矩阵和外力矩阵
M = [1 0; 0 2];
K = [2 -1; -1 2];
F = @(t) [sin(t); 0];

% 使用模态分析工具箱中的函数求解系统的固有频率和固有振型
[V, D] = eig(K, M);
omega = sqrt(diag(D));
phi = V;

% 将外力投影到每个固有振型上，得到投影矩阵
P = phi' * F(t);

% 求解每个单自由度系统的响应
for i = 1:length(omega)
    % 定义单自由度系统的初始条件：位移为0，速度为0
    y0 = [0; 0];
    % 定义单自由度系统的方程
    f = @(t, y) [y(2); -2*xi*omega(i)*y(2) - omega(i)^2*y(1) + P(i)*sin(omega(i)*t)];
    % 使用ode45函数求解单自由度系统的响应
    [t, y] = ode45(f, [0 10], y0);
    % 将单自由度系统的响应按照振型叠加
    c(i, :) = phi(:, i)' * y';
end

% 将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应
x = sum(c .* sin(omega*t), 1);

在上述代码中，我们先定义了系统的质量矩阵、刚度矩阵和外力矩阵，然后使用模态分析工具箱中的函数求解系统的固有频率和固有振型。接着，我们将外力投影到每个固有振型上，得到投影矩阵。然后，我们求解每个单自由度系统的响应，可以使用matlab中的ode45函数求解。最后，我们将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应。

matlab求解多自由度体系强迫振动采用振型叠加法正则坐标求解代码实现

以下是MATLAB代码实现多自由度体系强迫振动采用振型叠加法正则坐标求解：

%定义系统参数
m = [1, 2, 3]; %质量矩阵
k = [10, 20, 30]; %刚度矩阵
c = [0.1, 0.2, 0.3]; %阻尼矩阵
f = @(t) [5*sin(t), 10*sin(2*t), 15*sin(3*t)]; %外力函数

%定义时间范围和步长
tspan = [0, 10];
dt = 0.01;
t = tspan(1):dt:tspan(2);

%定义初始状态和初始速度
q0 = [0, 0, 0];
v0 = [0, 0, 0];

%求解系统响应
options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-6);
[t, x] = ode45(@(t, x) dynamic_equation(t, x, m, k, c, f(t)), t, [q0, v0], options);

%计算振型系数
U = zeros(length(t), length(m));
for i = 1:length(t)
for j = 1:length(m)
U(i,j) = x(i,j)/sqrt(m(j));
end
end
U = U';

%计算振型频率和阻尼比
[omega, zeta] = mode_parameters(U, t);

%计算正则坐标
q = zeros(length(t), length(m));
for i = 1:length(t)
for j = 1:length(m)
q(i,j) = dot(U(:,j), x(i,1:length(m))');
end
end

%绘制正则坐标随时间变化的图像
figure
plot(t, q)
xlabel('Time (s)')
ylabel('Displacement (m)')

%定义动力学方程
function dx = dynamic_equation(t, x, m, k, c, f)
n = length(m);
q = x(1:n);
v = x(n+1:2*n);
dx = zeros(2*n, 1);
dx(1:n) = v;
dx(n+1:2*n) = f(t)/m - k/m*q - c/m*v;
end

%计算振型频率和阻尼比
function [omega, zeta] = mode_parameters(U, t)
n = size(U, 1);
omega = zeros(size(U, 2), 1);
zeta = zeros(size(U, 2), 1);
for i = 1:size(U, 2)
[pks, locs] = findpeaks(U(i,:));
T = diff(t(locs));
omega(i) = 2*pi/mean(T);
zeta(i) = -log(pks(2)/pks(1))/sqrt((2*pi/mean(T))^2+log(pks(2)/pks(1))^2);
end
end