matlab求解多自由度体系强迫振动采用振型叠加法采用正则坐标求解

首先，我们需要确定多自由度体系的动力学方程。假设有n个自由度，则动力学方程可以表示为：

Mq'' + Cq' + Kq = F(t)

其中，M、C、K分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，q是n维位移向量，F(t)是外力向量。

接下来，我们采用振型叠加法来求解该方程。假设存在m个振型，每个振型可以表示为：

Φi(t) = Ai sin(ωi t + φi)

其中，Ai、ωi、φi分别是振幅、频率和初相位。

我们可以将每个振型的位移向量表示为：

qi(t) = Φi(t) ui

其中，ui是n维正则坐标向量，满足：

uiT M ui = 1

将每个振型的位移向量代入动力学方程中，得到：

Σi (Mωi2 ui - Kui) Ai sin(ωi t + φi) = F(t)

对于任意时刻t，上式左边是已知的，右边是外力F(t)，因此我们可以通过线性代数的方法求解Ai、ωi、φi和ui。

最终，多自由度体系的位移可以表示为：

q(t) = Σi Φi(t) ui Ai

其中，Φi(t)是第i个振型在时刻t的位移向量，ui是第i个振型的正则坐标向量，Ai是第i个振型的振幅。

相关问题

matlab多自由度体系振型叠加法采用正则坐标求解无阻尼强迫振动 代码实现

以下是一个简单的 Matlab 代码实现多自由度体系振型叠加法求解无阻尼强迫振动的过程。

首先定义系统的参数，包括质量矩阵、刚度矩阵和外力向量：

% 定义系统参数
M = [1 0; 0 2];  % 质量矩阵
K = [3 -1; -1 2];  % 刚度矩阵
F = [2*sin(2*t); 0];  % 外力向量

接着，由于采用正则坐标求解，需要计算正则坐标变换矩阵：

% 计算正则坐标变换矩阵
[V, D] = eig(K, M);  % 求解广义特征值问题
P = V' * M;  % 正则坐标变换矩阵

然后，根据正则坐标求解每个振型的振幅和相位，将其叠加得到总振动响应：

% 叠加各振型的振动响应
X = zeros(length(F), 1);  % 初始化总振动响应
for i = 1:length(F)
    w = sqrt(D(i, i));  % 求解振型频率
    C = P(i, :) * F / (w^2 - D(i, i));  % 求解振幅
    phi = atan2(w * (P(i, 2) * F(1) - P(i, 1) * F(2)), ...
        w^2 - D(i, i) - w * (P(i, 1)^2 * F(1) + P(i, 2)^2 * F(2)));  % 求解相位
    X = X + C * V(:, i) * sin(w * t + phi);  % 叠加振动响应
end

最后，将得到的总振动响应作图展示：

% 绘制振动响应图像
plot(t, X);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Displacement (m)');
legend('m1', 'm2');

完整的代码如下：

% 定义时间范围和时间步长
t = 0:0.01:10;

% 定义系统参数
M = [1 0; 0 2];  % 质量矩阵
K = [3 -1; -1 2];  % 刚度矩阵
F = [2*sin(2*t); 0];  % 外力向量

% 计算正则坐标变换矩阵
[V, D] = eig(K, M);  % 求解广义特征值问题
P = V' * M;  % 正则坐标变换矩阵

% 叠加各振型的振动响应
X = zeros(length(F), 1);  % 初始化总振动响应
for i = 1:length(F)
    w = sqrt(D(i, i));  % 求解振型频率
    C = P(i, :) * F / (w^2 - D(i, i));  % 求解振幅
    phi = atan2(w * (P(i, 2) * F(1) - P(i, 1) * F(2)), ...
        w^2 - D(i, i) - w * (P(i, 1)^2 * F(1) + P(i, 2)^2 * F(2)));  % 求解相位
    X = X + C * V(:, i) * sin(w * t + phi);  % 叠加振动响应
end

% 绘制振动响应图像
plot(t, X);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Displacement (m)');
legend('m1', 'm2');