顾客按照速率为r的泊松过程到达两个服务站点。到达后，他们加入单个队列。每当一个服务台完成服务时，排在队伍前面的人就进入服务。1号服务台的服务时间服从参数为u1的指数分布，2号服务台的服务时间服从参数为u2的指数分布，其中u1+u2>r。如果顾客到达时发现两个服务台都是空闲的，那么他们访问其中任何一个服务台的概率是相等的。请为该模型定义一个适当的连续时间马尔可夫过程，并求出极限概率。

我们可以将这个过程定义为一个三状态的连续时间马尔可夫过程。

状态 1 表示 1 号服务台有一个顾客在排队。

状态 2 表示 2 号服务台有一个顾客在排队。

状态 3 表示两个服务台都没有顾客在排队。

转移矩阵为：

| | 1 | 2 | 3 |
|--------|-----|-----|-----|
| **1** | -u1 | 0 | r |
| **2** | 0 | -u2 | r |
| **3** | u1 | u2 | -2r |

现在我们要求的是极限概率，也就是时间无限远的时候，顾客的分布。可以看出，当时间无限远的时候，顾客的分布是平衡的，也就是每一种状态的概率是相同的。因此，在时间无限远的时候，顾客在 1 号服务台排队的概率为 $1/3$，在 2 号服务台排队的概率为 $1/3$，两个服务台都没有顾客排队的概率为 $1/3$。

相关问题

顾客按照速率为r的泊松过程到达两个服务站点。到达后，他们加入单个队列。每当一台服务器完成服务时，排在队伍前面的人就进入服务。服务器i的服务时间与速率ui呈指数关系，i=1,2，…，其中u1+u2>r。当到达时发现两个服务器都是空闲的，那么访问其中任何一个服务器的可能性是相等的。为该模型定义一个适当的连续时间马尔可夫链，并找到极限概率。

这个模型可以用一个连续时间马尔可夫链来描述。我们可以用两个状态来表示两个服务器是否空闲，用 $0$ 表示空闲，$1$ 表示忙碌。这样我们就有四个状态：$(0,0)$ 表示两个服务器都空闲，$(0,1)$ 表示服务器 1 空闲，服务器 2 忙碌，$(1,0)$ 表示服务器 1 忙碌，服务器 2 空闲，$(1,1)$ 表示两个服务器都忙碌。

在状态 $(0,0)$ 中，有两种转移：到达服务器 1 的概率为 $\frac{1}{2}$，到达服务器 2 的概率为 $\frac{1}{2}$。在状态 $(0,1)$ 和 $(1,0)$ 中，转移的概率为 $1$，因为只有一个服务器空闲。在状态 $(1,1)$ 中，没有转移。

我们可以找到极限概率，也就是状态的静态概率分布。为了找到这个分布，我们可以解决方程组：

$$
\begin{cases}
\pi_{(0,0)}=\frac{1}{2}\pi_{(0,0)}+\frac{1}{2}\pi_{(0,0)}\\
\pi_{(0,1)}=\frac{1}{2}\pi_{(0,0)}\\
\pi_{(1,0)}=\frac{1}{2}\pi_{(0,0)}\\
\pi_{(1,1)}=\pi_{(0,1)}+\pi_{(1,0)}
\end{cases}
$$

解决这个方程