A是定义在实数域上的矩阵，已知其所有特征值的平方和为100，那么A中所有元素的平方和是多少

### 回答1：
如果 $A$ 是 $n\times n$ 的矩阵，那么其所有元素的平方和为 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j}^2$。

但是，如果已知其所有特征值的平方和为 100，则无法确定矩阵 $A$ 中所有元素的平方和。这是因为特征值与矩阵中的元素并不直接相关，而是与矩阵的特征向量有关。例如，两个矩阵 $A$ 和 $B$ 可能具有相同的特征值，但是其中的元素可能大不相同。

### 回答2：
我们知道，矩阵的特征值是方程det(A-λI)=0的根，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。由于A是定义在实数域上的矩阵，所以它的特征值都是实数。

设A是一个n×n的矩阵，特征值分别为λ₁, λ₂, …, λₙ。根据特征值的定义，我们知道特征值的平方和等于矩阵A的迹的平方和。

矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。设A的迹为tr(A)，则特征值的平方和为λ₁² + λ₂² + … + λₙ²=tr(A)²。

根据题目中已知条件，A所有特征值的平方和为100，即tr(A)²=100。因此，A的迹的平方为100。

我们知道一个n×n的矩阵A的迹等于其所有元素的和。设A的所有元素的和为S，则S²=100。

综上，我们可以得到A中所有元素的平方和为100。

### 回答3：
设A为n阶矩阵，A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ。

已知特征值的平方和为100，即(λ₁)²+(λ₂)²+...+(λₙ)²=100。

由特征值的定义可知，特征值是方程|A-λI|=0的根，其中I为n阶单位矩阵。根据代数学基本定理，矩阵A的特征值的个数为n。

根据特征值与特征向量的关系，特征值λ对应的特征向量x满足(A-λI)x=0。对于A的每一个特征值λ，都存在对应的线性无关的n维特征向量。

设λ₁对应的特征向量为x₁，那么有(A-λ₁I)x₁=0，即Ax₁=λ₁x₁。

由于A是实数域上的矩阵，所以特征值λ₁为实数。对于实数值的特征向量x₁，其每个元素的平方和即为||x₁||²。

同理，对于每一个特征值λ，对应的特征向量x的元素平方和也为||x||²。

根据以上推导，A中所有元素的平方和等于每个特征值对应的特征向量元素平方和的总和。

即A中所有元素的平方和 = ||x₁||² + ||x₂||² + ... + ||xₙ||² = 100。

由此可见，A中所有元素的平方和为100。