计算f(x,y)=0（当-a/2 < x < a/2, -b/2<y<b/2)或f(x,y)=1 （当x>=a/2或x<= -a/2, y>= b/2或y<= -b/2) 的二维傅里叶变换结果

这是一个分段函数，我们可以分别计算其在不同区域内的傅里叶变换：

当 $-a/2<x<a/2$ 且 $-b/2<y<b/2$ 时，$f(x,y)=0$，因此其傅里叶变换为零：

$$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-2\pi i(ux+vy)}dxdy=0$$

当 $x\geq a/2$ 或 $x\leq -a/2$ 时，$f(x,y)=1$，这相当于一个矩形函数。根据矩形函数的傅里叶变换公式，有：

$$F(u,v)=\frac{2\sin(\pi ua)}{\pi u}\frac{2\sin(\pi vb)}{\pi v}$$

当 $y\geq b/2$ 或 $y\leq -b/2$ 时，$f(x,y)=1$，这相当于在 $x$ 轴上取值为 $1$ 的冲击函数，根据冲击函数的傅里叶变换公式，有：

$$F(u,v)=2b\frac{\sin(\pi va)}{\pi v}$$

综上所述，$f(x,y)$ 的傅里叶变换为：

$$F(u,v)=\begin{cases}0 & -a/2<x<a/2,\ -b/2<y<b/2 \\ \frac{2\sin(\pi ua)}{\pi u}\frac{2\sin(\pi vb)}{\pi v} & x\geq a/2\ \text{或}\ x\leq -a/2 \\ 2b\frac{\sin(\pi va)}{\pi v} & y\geq b/2\ \text{或}\ y\leq -b/2\end{cases}$$