设G为群，a∈G， 试证明：若a是n 阶元，则 |<a> | = n 若偏序集 <S,≤> 构成格，则 定义S上的二元运算° ： x ° y= {x,y}的上确界， 定义S上的二元运算* ： x * y= {x,y}的下确界。 证明：运算°与* 满足吸收律。 设G为群，a,b,c∈G 且 cab的阶存在，证明 | abc | = | cab | 设G为群，a∈G且 |a| = r, k是整数，证明 若 ak = e 则 r | k . 设G为群，a∈G， 试证明：若a是n 阶元，则<a> = { a0, a1, a2, … , an-1 }

好的，我已经注意到你的问题了。下面是我的回答：

1. 设a是G中的n阶元，即a^n = e，其中e是G的单位元素。那么<a> = {a^0, a^1, ..., a^(n-1)}。首先证明这个集合是G的子群。由于a^n = e，所以a^(-1) = a^(n-1)，即a的逆元素是a^(n-1)。因此，对于任意的i，j∈{0,1,...,n-1}，我们有a^i * a^j = a^(i+j)，其中i+j的结果需要对n取模，因为a^n = e。因此，<a>是封闭的。此外，a^0 = e，因此<a>包含单位元素。最后，对于任意的i∈{0,1,...,n-1}，(a^i)^(-1) = a^(n-i)，因此<a>包含每个元素的逆元素。因此，<a>是G的子群。由于a的阶是n，<a>中的元素的阶必须是a的因子。但是，由于a^n = e，因此a的阶不能是n的真因子。因此，<a>中的元素的阶必须是n，因此<a>的阶是n。因此，|<a>| = n。

2. 设S是一个格，x,y∈S。我们需要证明x ° (x * y) = x * (x ° y) = x。首先证明x ° (x * y) = x。根据定义，x * y = {x,y}的下确界，因此x * y ≤ x，并且x * y是下界。另一方面，x,y都是{x,y}的上界，因此x ° (x * y)必须是{x,y}的上界。因此，x ° (x * y) ≥ x。由于x ° (x * y)是上界，因此它必须是(x * y)的上界。因此，x ° (x * y) ≥ x * y。但是，x * y是下确界，因此对于任何上界u，我们都有u ≥ x * y。因此，x ° (x * y) ≤ x * y。结合上面的不等式，我们得到x * y = x ° (x * y)。同样地，我们可以证明x * (x ° y) = x，证毕。

3. 设cab的阶为m。我们需要证明|abc| = m。首先，我们知道(a*b)^n = a^n * b^n，因此(c*a*b)^m = c^m * a^m * b^m = e。因此，|abc|必须是m的因子。另一方面，(a*b*c)^m = a^m * b^m * c^m = e，因此m是abc的阶的因子。因此，我们有|m| = |cab|的结论。由于cab的阶是m，因此|abc|必须是m的因子。但是，由于abc的阶是m的倍数，因此|abc| = m，证毕。

4. 假设ak = e，其中r是a的阶。那么r | k的证明如下：根据定理，对于任意的整数k，我们有a^k = a^(k mod r)。因此，ak = a^(k mod r) = e。因此，k mod r是r的倍数，因此r | k。

5. 设a是G中的n阶元。我们需要证明<a> = {a^0, a^1, ..., a^(n-1)}。首先，<a>是a的阶的子群，因此它包含a的所有幂次。因此，{a^0, a^1, ..., a^(n-1)}是<a>的子集。另一方面，由于a^n = e，我们有a^k = a^(k mod n)，因此<a>中的元素可以表示成a的幂次，其中指数在模n意义下等于0到n-1之间的整数。因此，{a^0, a^1, ..., a^(n-1)}包含在<a>中。因此，<a> = {a^0, a^1, ..., a^(n-1)}，证毕。