matlab 非线性方程数值解法,非线性方程组的几种数值解法+matlab源代码

非线性方程数值解法：

1.二分法：对于单个非线性方程，在区间 $[a,b]$ 上使用二分法进行求解。当 $f(a) \times f(b) < 0$ 时，说明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 中存在零点，此时可以取区间中点 $c=(a+b)/2$，若 $f(c)=0$，则已经找到了零点；若 $f(c) \times f(a) < 0$，则零点在区间 $[a,c]$ 中，否则在区间 $[c,b]$ 中，继续使用二分法迭代求解即可。

2.牛顿法：对于单个非线性方程，使用牛顿法进行求解。设 $x_0$ 为非线性方程 $f(x)=0$ 的一个近似解，求其下一个近似解 $x_1$。根据牛顿迭代公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，不断迭代直到满足精度要求。

非线性方程组的几种数值解法：

1.牛顿法：对于非线性方程组 $F(x)=0$，使用牛顿法进行求解。在每一步迭代中，需要求解 $F(x^{(k)})+J(x^{(k)})\Delta x^{(k)}=0$，其中 $J$ 为 $F$ 的雅可比矩阵，$x^{(k)}$ 为第 $k$ 步迭代的近似解，$\Delta x^{(k)}$ 为近似解的修正量，通过求解线性方程组获得。不断迭代直到满足精度要求。

2.拟牛顿法：拟牛顿法是一类使用近似 Hessian 矩阵的迭代方法。在每一步迭代中，通过近似 Hessian 矩阵求解 $\Delta x^{(k)}$，然后更新近似解 $x^{(k+1)}=x^{(k)}+\Delta x^{(k)}$。常用的拟牛顿法包括 BFGS 方法和 DFP 方法。

3.全局优化方法：对于非线性方程组，若存在多个解，使用全局优化方法进行求解。常用的全局优化方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。

以下是 matlab 的源代码示例：

二分法求解单个非线性方程：

function [x, iter] = bisection(f, a, b, tol)
% f: 非线性方程的函数句柄
% a, b: 初始区间 [a, b]
% tol: 求解精度
% x: 方程的近似解
% iter: 迭代次数

iter = 0;
while b-a > tol
    iter = iter + 1;
    c = (a+b)/2;
    if f(c) == 0
        x = c;
        return;
    elseif f(c)*f(a) < 0
        b = c;
    else
        a = c;
    end
end
x = (a+b)/2;

牛顿法求解单个非线性方程：

function [x, iter] = newton(f, df, x0, tol)
% f: 非线性方程的函数句柄
% df: 非线性方程的导函数句柄
% x0: 初始近似解
% tol: 求解精度
% x: 方程的近似解
% iter: 迭代次数

iter = 0;
while abs(f(x0)) > tol
    iter = iter + 1;
    x0 = x0 - f(x0)/df(x0);
end
x = x0;

牛顿法求解非线性方程组：

function [x, iter] = newton_sys(F, J, x0, tol)
% F: 非线性方程组的函数句柄
% J: 非线性方程组的雅可比矩阵句柄
% x0: 初始近似解
% tol: 求解精度
% x: 方程组的近似解
% iter: 迭代次数

iter = 0;
while norm(F(x0)) > tol
    iter = iter + 1;
    x0 = x0 - J(x0)\F(x0);
end
x = x0;

BFGS 拟牛顿法求解非线性方程组：

function [x, iter] = bfgs_sys(F, J, x0, tol)
% F: 非线性方程组的函数句柄
% J: 非线性方程组的雅可比矩阵句柄
% x0: 初始近似解
% tol: 求解精度
% x: 方程组的近似解
% iter: 迭代次数

n = length(x0);
B = eye(n);
iter = 0;
while norm(F(x0)) > tol
    iter = iter + 1;
    s = -B\F(x0);
    x1 = x0 + s;
    y = J(x1) - J(x0);
    B = B + (y'*s + s'*B*s)/(y'*y) * (y*y') - (B*s*s'*B)/(s'*B*s);
    x0 = x1;
end
x = x0;