三阶矩阵的二重特征值对应的两个特征向量一定线性无关吗

对于一个三阶方阵，如果它有两个不同的特征值，那么它一定存在两个线性无关的特征向量对应于这两个特征值。因为一个三阶方阵最多有三个线性无关的特征向量，而对于一个有两个不同特征值的三阶方阵，它一定存在两个线性无关的特征向量对应于这两个特征值。如果存在三个不同的特征值，那么它一定存在三个线性无关的特征向量对应于这三个特征值。但是，如果存在重复特征值（即一个特征值对应的特征向量不止一个），则不能保证它们对应的特征向量线性无关。

相关问题

矩阵对应不同特征值的特征向量是线性无关的吗

是的，如果一个n×n矩阵A有k个不同的特征值，那么对应于这k个特征值的k个特征向量是线性无关的。

这个结论可以通过反证法来证明。假设对于一个n×n矩阵A，存在k个不同的特征值，但是对应于这些特征值的特征向量是线性相关的，那么就存在一组不全为0的系数c1, c2, ..., ck，使得

$$
c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k = 0
$$

其中，v1, v2, ..., vk分别是对应于A的k个不同特征值的特征向量。因为这些特征向量对应于不同的特征值，所以它们是线性无关的。

根据特征向量的定义，对于任意一个不为0的向量v，如果它是一个矩阵A的特征向量，那么它必须满足以下条件：

$$
Av = \lambda v
$$

其中，λ是v对应的特征值。

将上式两边同时乘以$ c_1, c_2, ..., c_k $，得到：

$$
c_1Av_1 + c_2Av_2 + ... + c_kAv_k = c_1\lambda_1v_1 + c_2\lambda_2v_2 + ... + c_k\lambda_kv_k
$$

因为v1, v2, ..., vk是对应于A的k个不同特征值的特征向量，所以它们两两线性无关。因此，上式可以改写为：

$$
Ac_1v_1 + Ac_2v_2 + ... + Ac_kv_k = \lambda_1c_1v_1 + \lambda_2c_2v_2 + ... + \lambda_kc_kv_k
$$

因为v1, v2, ..., vk是矩阵A的特征向量，所以左边的式子可以进一步化简为：

$$
c_1\lambda_1v_1 + c_2\lambda_2v_2 + ... + c_k\lambda_kv_k = \lambda_1c_1v_1 + \lambda_2c_2v_2 + ... + \lambda_kc_kv_k
$$

移项得到：

$$
(\lambda_1-c_1)\lambda_1v_1 + (\lambda_2-c_2)\lambda_2v_2 + ... + (\lambda_k-c_k)\lambda_kv_k = 0
$$

因为v1, v2, ..., vk是对应于A的k个不同特征值的特征向量，所以它们两两线性无关。因此，上式中的每一项都必须等于0。因为所有的特征值都是不同的，所以每个括号中的因子都不为0。因此，只有c1=c2=...=ck=0才能使得上式成立。

这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即对于一个n×n矩阵A有k个不同的特征值，那么对应于这k个特征值的k个特征向量是线性无关的。

矩阵的三个特征值对应的特征向量是正交的

矩阵的三个特征值对应的特征向量不一定是正交的。

特征向量是指在矩阵作用下仍然在同一方向上的向量，其长度可以改变，但方向不变。而特征向量之间是否正交与矩阵的性质有关。

对于一个对称矩阵，其特征向量是正交的，因此在这种情况下，三个特征值对应的特征向量是正交的。但是，对于一般的矩阵，其特征向量不一定是正交的，因此三个特征值对应的特征向量也不一定是正交的。

需要注意的是，即使特征向量不是正交的，也可以通过正交化的方法将其变为正交向量。