增量谐波平衡法和弧长法在非线性振动中MATLAB实例代码

增量谐波平衡法（Incremental Harmonic Balance Method）和弧长法（Arc-Length Method）都是求解非线性振动问题的常见方法。下面是MATLAB实例代码，演示了如何使用这两种方法求解一个简单的非线性振动问题。

首先，定义非线性振动方程：

$$\ddot{x} + \omega_0^2 x + \epsilon x^3 = 0$$

其中，$\omega_0$是自然频率，$\epsilon$是非线性系数。

使用增量谐波平衡法求解该方程，可以将$x$表示为：

$$x = \sum_{n=1}^{N} A_n \sin(n \omega t + \phi_n)$$

其中，$N$是谐波项数，$A_n$和$\phi_n$是振幅和相位，$\omega$是外加频率，可以通过牛顿迭代法求解。

使用弧长法求解该方程，则需要将方程转化为一个参数方程：

$$\begin{aligned} \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x + \epsilon x^3 &= 0 \\ \frac{dx}{d\lambda} &= \delta \\ \frac{d\delta}{d\lambda} &= -\frac{1}{\omega_0^2}(\omega_0^2 x + \epsilon x^3) \end{aligned}$$

其中，$\lambda$是弧长参数，$\delta$是速度。

下面是MATLAB实例代码：

% 定义参数
omega0 = 1;
epsilon = 0.1;

% 定义谐波项数
N = 10;

% 定义求解区间和步长
tspan = [0, 20];
dt = 0.01;

% 定义初值
x0 = [0; 0];

% 使用增量谐波平衡法求解
[t1, x1] = ode45(@(t, x) incr_harm_balance(t, x, omega0, epsilon, N), tspan, x0);

% 绘制结果
figure;
plot(t1, x1(:, 1));
xlabel('Time');
ylabel('Displacement');

% 使用弧长法求解
options = odeset('Events', @(t, x) event_func(t, x, omega0, epsilon));
[t2, x2] = ode45(@(t, x) arc_length(t, x, omega0, epsilon), tspan, x0, options);

% 绘制结果
figure;
plot(x2(:, 1), x2(:, 2));
xlabel('Displacement');
ylabel('Velocity');

% 增量谐波平衡法函数
function dxdt = incr_harm_balance(t, x, omega0, epsilon, N)
    % 计算外加频率
    omega = omega0 + epsilon * sum(3 * x(1)^2 - 1);

    % 初始化振幅和相位
    A = zeros(N, 1);
    phi = zeros(N, 1);

    % 牛顿迭代法求解振幅和相位
    for n = 1:N
        % 初始猜测值
        A(n) = 0.1;
        phi(n) = 0;

        % 牛顿迭代
        for i = 1:10
            f = omega^2 * A(n) * sin(n * omega * t + phi(n)) + epsilon * A(n)^3 * sin(n * omega * t + 3 * phi(n));
            dfdA = omega^2 * sin(n * omega * t + phi(n)) + 3 * epsilon * A(n)^2 * sin(n * omega * t + 3 * phi(n));
            dfdphi = n * omega^2 * A(n) * cos(n * omega * t + phi(n)) + 3 * n * epsilon * A(n)^3 * cos(n * omega * t + 3 * phi(n));
            A(n) = A(n) - f / dfdA;
            phi(n) = phi(n) - f / dfdphi;
        end
    end

    % 计算加速度
    dxdt = zeros(2, 1);
    dxdt(1) = x(2);
    dxdt(2) = -omega0^2 * x(1) - epsilon * sum(A.^3 .* sin((1:N)' * omega * t + 3 * phi));
end

% 弧长法函数
function dxdlambda = arc_length(t, x, omega0, epsilon)
    % 计算速度
    v = x(2);

    % 计算加速度
    a = -omega0^2 * x(1) - epsilon * x(1)^3;

    % 计算弧长参数
    dl = sqrt(v^2 + a^2);

    % 计算dx/dlambda和d^2x/dlambda^2
    dxdlambda = zeros(2, 1);
    dxdlambda(1) = v;
    dxdlambda(2) = -a / omega0^2;
    d2xdlambda2 = [-omega0^2, -3 * epsilon * x(1)^2; 1, 0];

    % 计算d(lambda)/dt
    dldt = v / dl;

    % 计算dx/dt
    dxdt = [v; -omega0^2 * x(1) - epsilon * x(1)^3];

    % 计算d(dx/dt)/dlambda
    ddxdlambda = d2xdlambda2 * dxdlambda + [0; -epsilon * 3 * x(1)^2 * v];

    % 计算d^2(lambda)/dt^2
    d2ldt2 = ddxdlambda' * dxdt / dl;

    % 计算d^2(lambda)/dlambda^2
    d2ldl2 = d2xdlambda2' * d2xdlambda2 / dl^2 - ddxdlambda' * ddxdlambda / dl^4;

    % 计算d^2x/dt^2
    d2xdt2 = [-omega0^2, -3 * epsilon * x(1)^2; 1, 0] * x + [0; -epsilon * 3 * x(1)^2 * v];

    % 计算d(d^2x/dt^2)/dlambda
    dd2xdtdlambda = d2xdlambda2 * d2xdt2 + [0; -epsilon * 6 * x(1) * v^2 - 9 * epsilon * x(1)^2 * a];

    % 计算d^2x/dlambda^2
    d2xdlambda2 = dd2xdtdlambda / dl^2 - d2ldt2 * dxdt / dl^2 - d2ldl2 * dxdlambda;
    dxdlambda = [dxdlambda; d2xdlambda2];
end

% 事件函数，用于停止积分
function [value, isterminal, direction] = event_func(t, x, omega0, epsilon)
    value = x(1);
    isterminal = 1;
    direction = 0;
end

代码中使用了MATLAB内置的ode45函数求解微分方程。增量谐波平衡法和弧长法的具体实现在incr_harm_balance函数和arc_length函数中。事件函数event_func用于停止积分，即当位移达到一定值时停止积分。