求如下序列的傅里叶变换。 x(n)=u(n)-u(n-4)

根据傅里叶变换的定义，对于一个序列 $x(n)$，它的傅里叶变换 $X(k)$ 定义如下：

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j2\pi nk/N}$$

其中，$N$ 表示序列长度。对于给定的序列 $x(n)=u(n)-u(n-4)$，我们可以先分别计算出 $u(n)$ 和 $u(n-4)$ 的傅里叶变换，然后做差求得 $x(n)$ 的傅里叶变换。

首先，$u(n)$ 是单位阶跃函数，其值在 $n=0$ 处从 $0$ 跳跃到 $1$，因此有：

$$u(n) = \begin{cases} 0, & n<0 \\ 1, & n\geq 0 \end{cases}$$

将上式代入傅里叶变换的定义，得到：

$$U(k) = \sum_{n=0}^{N-1} u(n)e^{-j2\pi nk/N} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-j2\pi nk/N} = \frac{1}{1-e^{-j2\pi k/N}}$$

其中，$N$ 取无穷大。同理，$u(n-4)$ 的傅里叶变换为：

$$U(k)e^{-j2\pi 4k/N} = \frac{e^{-j2\pi 4k/N}}{1-e^{-j2\pi k/N}}$$

因此，$x(n)$ 的傅里叶变换为：

$$\begin{aligned} X(k) &= U(k) - U(k)e^{-j2\pi 4k/N} \\ &= U(k)[1 - e^{-j2\pi 4k/N}] \\ &= \frac{1 - e^{-j2\pi 4k/N}}{1-e^{-j2\pi k/N}} \end{aligned}$$

这就是给定序列的傅里叶变换。