滑动平均_滑动窗口问题最简单的教程

滑动平均是一种常见的数据处理方法，它能够平滑数据序列，减小噪声的影响，使得数据变化趋势更加明显。滑动平均通常通过滑动窗口来实现，下面是一个简单的教程来介绍滑动平均和滑动窗口的概念。

假设我们有一个长度为 $n$ 的数据序列 $x_1, x_2, ..., x_n$，我们想要对它进行滑动平均处理。滑动平均的基本思想是对每个数据点取一个窗口内的平均值，然后将这个平均值作为当前数据点的值，这个窗口就是滑动窗口。具体来说，假设我们选取一个窗口大小为 $m$，则对于数据点 $x_i$，它的滑动平均值为：

$$
y_i = \frac{1}{m}\sum_{j=i-m+1}^{i} x_j
$$

其中，$i$ 表示当前数据点的位置，$m$ 表示窗口大小。

可以发现，滑动平均的计算需要遍历整个数据序列，时间复杂度为 $O(nm)$，当数据量很大时，计算量会非常大，因此需要使用一些优化方法来降低计算复杂度。下面介绍两种常见的优化方法。

1. 前缀和优化

使用前缀和可以将计算复杂度降为 $O(n)$，具体实现如下：

首先，我们计算出前缀和数组 $s$，其中 $s_i$ 表示前 $i$ 个数据点的和：

$$
s_i = \sum_{j=1}^{i} x_j
$$

然后，对于每个数据点 $x_i$，它的滑动平均值可以表示为：

$$
y_i = \frac{1}{m}(s_i - s_{i-m})
$$

这样，我们只需要计算一次前缀和数组 $s$，然后对于每个数据点只需要做一次减法和一次除法，就可以得到它的滑动平均值。

2. 双端队列优化

使用双端队列可以将计算复杂度降为 $O(n)$，具体实现如下：

我们使用一个双端队列 $q$ 维护当前窗口内的数据点，队列中的数据点按照从大到小的顺序排列，队列的头部是当前窗口内的最大值，队列的尾部是当前窗口内的最小值。当我们要滑动窗口时，首先将队列头部的数据点弹出，然后将新的数据点插入队列的尾部。这样，队列中的数据点就始终保持在窗口内，而且队列头部的数据点就是当前窗口内的最大值，队列尾部的数据点就是当前窗口内的最小值。

具体实现中，我们使用双端队列 $q$ 和一个指针 $i$，$q$ 中存储数据点的下标，$i$ 表示当前窗口的右端点，更新滑动平均值的过程如下：

1. 当 $i$ 小于 $m-1$ 时，不更新滑动平均值。
2. 当 $i$ 大于等于 $m-1$ 时，计算当前窗口内的平均值，更新滑动平均值。
3. 将当前数据点的下标 $i$ 插入队列 $q$ 的尾部。
4. 如果队列 $q$ 的头部的数据点已经不在当前窗口内，将其弹出队列。
5. 将 $i$ 的值加 $1$，重复上述步骤。

使用双端队列优化的滑动平均计算复杂度为 $O(n)$，比前缀和优化更加高效。