f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n^{3/2}}\chi_{[0,\frac{2\pi}{n}]}，这个函数列一致收敛吗？证明

首先，我们需要注意到函数 $f_n(x)$ 在区间 $[0, \frac{2\pi}{n}]$ 以外的部分为零。进一步地，$f_n(x)$ 是连续函数。因此，我们只需要考虑 $f_n(x)$ 在区间 $[0, \frac{2\pi}{n}]$ 上的一致收敛性。

为了判断 $f_n(x)$ 在该区间上的一致收敛性，我们可以考虑其上确界与下确界的差。具体来说，设 $M_n = \sup_{x\in[0,\frac{2\pi}{n}]}|f_n(x)|$，$m_n = \inf_{x\in[0,\frac{2\pi}{n}]}|f_n(x)|$，则 $f_n(x)$ 在该区间的一致收敛性等价于 $\lim_{n\rightarrow\infty}(M_n - m_n) = 0$。

我们现在来计算 $M_n$ 和 $m_n$。首先有：

$$M_n = \sup_{x\in[0,\frac{2\pi}{n}]}|f_n(x)| = \frac{1}{n^{3/2}}$$

这是因为 $\sin(nx)$ 的最大值为 $1$，而 $\frac{1}{n^{3/2}}$ 在 $n$ 趋于无穷大时趋于零。

接下来，我们来计算 $m_n$。注意到 $\sin(nx)$ 是奇函数，因此 $|\sin(nx)| = \sin(nx)$。因此：

$$m_n = \inf_{x\in[0,\frac{2\pi}{n}]}|f_n(x)| = \inf_{x\in[0,\frac{2\pi}{n}]}\frac{|\sin(nx)|}{n^{3/2}} = \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{n^{3/2}}$$

这是因为 $\sin(nx)$ 在 $[0,\frac{\pi}{n}]$ 上单调递增，而在 $[\frac{\pi}{n}, \frac{2\pi}{n}]$ 上单调递减，且 $\sin(\frac{\pi}{n})$ 是其最小值。

因此，我们有：

$$M_n - m_n = \frac{1}{n^{3/2}} - \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{n^{3/2}} = \frac{1-\sin(\frac{\pi}{n})}{n^{3/2}}$$

显然，$\lim_{n\rightarrow\infty}(M_n - m_n) = 0$。因此，$f_n(x)$ 在 $[0,\frac{2\pi}{n}]$ 上一致收敛，进而一致收敛于其定义域 $[0,2\pi]$ 上的连续函数。