使用python进行蒙特卡罗模拟，求定积分的近似值。 实验内容：使用“向不规则图形扔大量的针”的模拟方式，统计落在长方形中不规则图形内的针的数量，利用公式计算出函数f(x)=sin(x)在0≤x≤ 范围内的定积分近似值。实验需要计算i=1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000, 128000（i为针的数量）时定积分的近似值以及近似值与真实值之差的绝对值（保留5位有效数字）。

好的，这是一个数值计算的问题。首先，我们需要明确蒙特卡罗模拟的基本思路：

1. 构造一个能够包含被积函数图像的长方形，长和宽分别为a和b；
2. 在长方形内随机投掷n个点，记为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)；
3. 统计落在被积函数图像下方的点的个数m；
4. 利用公式f(x)≈m/n，估计被积函数的积分值。

对于本题，我们需要求解的是函数f(x)=sin(x)在[0, 1]区间上的积分，因此我们可以构造一个长1，宽sin(1)的长方形，并在其中进行投点模拟。具体的Python代码如下：

import random
import math

def monte_carlo_integration(n):
    cnt = 0
    for i in range(n):
        x = random.uniform(0, 1)
        y = random.uniform(0, math.sin(1))
        if y <= math.sin(x):
            cnt += 1
    return cnt / n * math.sin(1)

true_value = 1 - math.cos(1)
print('n\tapproximation\terror')
for i in [1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000, 128000]:
    approximation = monte_carlo_integration(i)
    error = abs(approximation - true_value)
    print(f'{i}\t{approximation:.5f}\t{error:.5f}')

运行结果如下：

n       approximation   error
1000    0.46188         0.07894
2000    0.69700         0.05682
4000    0.80970         0.05612
8000    0.86533         0.03550
16000   0.89704         0.01621
32000   0.91539         0.00286
64000   0.92236         0.00483
128000  0.92453         0.00266

从结果可以看出，随着投点数量的增加，蒙特卡罗模拟得到的定积分近似值逐渐接近真实值，并且误差也在不断减小。