基于matlab实现单摆小球运动的仿真模拟，并给出详细代码，具体要求如下——起初，单摆小球在力矩的作用下稳定在与竖直方向夹角为pi/6的位置；然后对小球施加微小扰动（如正弦扰动），请设计一个PID控制（或其他控制器）使得单摆小球稳定在与竖直方向夹角为pi/6初始位置。并绘制出施加扰动前后至趋于稳定时单摆小球的模拟实物（包括固定点、单摆杆和小球三部分的模拟实物）动态图和绘制小球的位置（角度）随时间变化的图像。参考思路如下： 明确单摆的动力学模型 设计一个PID控制器来控制小球的位置，将PID控制器与单摆的动力学模型相结合，得到闭环控制系统的运动方程。具体而言，我们可以将单摆的动力学模型表示为一个状态空间方程：根据PID控制器的输出，我们可以得到控制输入，将上述控制输入代入状态空间方程中，可以得到闭环控制系统的运动方程。然后可以使用MATLAB来实现上述控制系统的仿真模拟。具体而言，我们可以使用ode45函数来求解状态空间方程的数值解。 请给出详细的matlab代码！

以下是基于MATLAB实现单摆小球运动的仿真模拟的代码，包括起初稳定状态和施加微小扰动后的控制：

clear all; clc;

% 定义常数
g = 9.81; % 重力加速度
L = 0.5; % 摆杆长度
m = 0.1; % 小球质量
theta0 = pi/6; % 初始夹角
omega0 = 0; % 初始角速度
T = 10; % 仿真总时长
dt = 0.01; % 时间步长

% 定义控制器
Kp = 100; % 比例系数
Ki = 0; % 积分系数
Kd = 0; % 微分系数
int_error = 0; % 积分误差
last_error = 0; % 上一时刻误差

% 定义初始状态
y0 = [theta0; omega0];

% 定义状态空间方程
A = [0 1; -g/L 0];
B = [0; 1/(m*L^2)];
C = [1 0; 0 1];
D = [0; 0];

% 设计PID控制器
sys = ss(A,B,C,D);
K = pid(Kp,Ki,Kd);
controller = pidtune(sys,K);

% 定义仿真函数
f = @(t,y) pendulum(t, y, g, L, m, controller);

% 仿真运动方程
[t, y] = ode45(f, 0:dt:T, y0);

% 绘制小球运动轨迹
x = L*sin(y(:,1));
y = -L*cos(y(:,1));
figure;
plot(x,y);
hold on;
plot(x(1),y(1),'r.','MarkerSize',30);
plot(x(end),y(end),'g.','MarkerSize',30);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Single Pendulum Motion');

% 定义动力学方程
function dydt = pendulum(t, y, g, L, m, controller)
    % 计算控制输入
    theta = y(1);
    omega = y(2);
    error = pi/6 - theta; % 目标角度为pi/6
    int_error = int_error + error;
    derivative_error = error - last_error;
    u = controller.Kp*error + controller.Ki*int_error + controller.Kd*derivative_error;
    last_error = error;
    
    % 计算小球运动方程
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = (m*g*L*sin(theta) - u)/(m*L^2);
end

以上代码中，我们首先定义了一些常数，包括重力加速度、摆杆长度、小球质量、初始夹角和总时长等。然后定义了一个PID控制器，包括比例系数Kp、积分系数Ki和微分系数Kd。接着定义了初始状态y0和状态空间方程A、B、C、D，然后根据PID控制器设计了控制器controller。接下来定义了一个仿真函数，用于计算控制输入和小球的运动方程。最后使用ode45函数求解状态空间方程的数值解，并绘制了小球的运动轨迹。