证明a/b的取整函数小于a/b-1+1/b

首先，我们将a/b表示为q余r的形式，其中q是a/b的整数部分，r是a/b的小数部分，0 <= r < 1。

然后，我们可以将a/b的取整函数表示为q，将a/b-1的1/b表示为r+1/b，并将其取整函数表示为q'。因此，我们需要证明q < q'。

我们可以将a/b-1表示为(a-b)/b，因此a/b-1的整数部分是q-1。因此，我们需要证明q < q'，即q < q-1+1/b。

等价地，我们需要证明r < 1/b。但是，这是显然的，因为r是a/b的小数部分，因此r < 1/b。

因此，我们证明了a/b的取整函数小于a/b-1的1/b。

相关问题

证明a/b的取整函数小于等于a/b-1+1/b

对于任意实数 a 和正整数 b，我们有以下证明：

设 x = a/b，则 a/b 的取整函数可以表示为 ⌊x⌋，即不大于 x 的最大整数。那么我们可以将 a/b - 1/b 写成 (ab - b)/b，也就是 x - 1/b。

要证明 ⌊x⌋ ≤ x - 1/b，我们可以将 x 拆分成整数部分和小数部分，即 x = n + r，其中 n 是 x 的整数部分，r 是小数部分，满足 0 ≤ r < 1。那么我们有：

x - 1/b = n + r - 1/b
= n + (br - 1)/b

因为 r < 1，所以 br < b，因此 br - 1 < b - 1。于是我们得到：

x - 1/b = n + (br - 1)/b < n + (b - 1)/b = n + 1 - 1/b

因为 n 是 x 的整数部分，所以 n ≤ ⌊x⌋。因此：

x - 1/b < n + 1 - 1/b ≤ ⌊x⌋ + 1 - 1/b

如果我们能够证明 n ≤ ⌊x⌋，那么就可以得到 ⌊x⌋ ≤ x - 1/b。

假设 n > ⌊x⌋，那么有：

n - 1 < x ≤ n

将 x 拆分成整数部分和小数部分，即 x = ⌊x⌋ + r，其中 0 ≤ r < 1。那么有：

⌊x⌋ + r ≤ n
r < 1

将上面两个式子相加得到：

x + r < n + 1

因为 n 是整数，所以 n + 1 是比 n 大的整数。所以 x + r 不可能小于 n + 1，这与 x ≤ n 矛盾。因此我们得出结论：

n ≤ ⌊x⌋

将这个结论代入上面的式子得到：

⌊x⌋ ≤ ⌊x⌋ + 1 - 1/b

化简得到：

⌊x⌋ ≤ x - 1/b

因此我们证明了 ⌊a/b⌋ ≤ a/b - 1/b。