描述Skip-gram模型训练过程，写出详细公式（使用 Latex格式)

Skip-gram模型是一种用于学习词向量的深度学习模型。其训练过程可以分为以下几个步骤：

1. 对于给定的一个文本序列，将其转化为一系列的词语，即将文本序列中的每个单词都看作一个“目标词”。
2. 对于每个“目标词”，随机选择一个窗口大小 $c$，并从该目标词的上下文中选择 $2c$ 个“背景词”作为训练样本。
3. 对于每个训练样本 $(w_i, w_j)$，使用神经网络计算其条件概率 $P(w_j \mid w_i)$。具体地，假设神经网络的输入是一个 one-hot 向量 $x_i$，表示目标词 $w_i$，则该神经网络可以被表示为两个矩阵 $W$ 和 $V$，其中 $W$ 为输入层到隐藏层的权重矩阵，$V$ 为隐藏层到输出层的权重矩阵。神经网络的输出为一个概率分布，表示在给定目标词 $w_i$ 的情况下，每个背景词 $w_j$ 出现的概率。具体地，我们可以使用 softmax 函数将神经网络的输出转化为概率分布，即：

$$ P(w_j \mid w_i) = \frac{\exp(\boldsymbol{v_j}^\top \boldsymbol{h}_i)}{\sum_{k \in \mathcal{V}} \exp(\boldsymbol{v_k}^\top \boldsymbol{h}_i)}, $$

其中 $\boldsymbol{v_j}$ 和 $\boldsymbol{h}_i$ 分别表示背景词 $w_j$ 和目标词 $w_i$ 的词向量，$\mathcal{V}$ 表示词汇表中的所有词语。

4. 使用最大似然估计法来训练神经网络。具体地，对于每个训练样本 $(w_i, w_j)$，我们希望模型输出的概率 $P(w_j \mid w_i)$ 尽可能接近真实的条件概率 $p(w_j \mid w_i)$。因此，我们定义损失函数为交叉熵损失函数，即：

$$ \mathcal{L} = -\sum_{(w_i, w_j) \in \mathcal{D}} \log P(w_j \mid w_i), $$

其中 $\mathcal{D}$ 表示训练样本集合。

5. 使用反向传播算法来计算损失函数对于神经网络中每个参数的梯度，并使用随机梯度下降算法来更新这些参数。

以上就是Skip-gram模型的训练过程。其中，最重要的公式为条件概率公式和损失函数公式，具体如上所示。