定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。 定义一个函数如下 p_i=σ_i-β_i （4-4） 所以有 p_i=k_i e_i+e ̇_i-β_i （4-5） 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙〗 p_i （4-5）

以下是一个 Python 函数的实现，它可以计算 ∆_i (t) 和 p_i：

def calculate_delta(u_i, w_i):
    return u_i - w_i

def calculate_p(sigma_i, beta_i, k_i, e_i, e_dot_i):
    return sigma_i - beta_i - k_i * e_i - e_dot_i

为了证明系统的稳定性，我们可以选择 Lyapunov 函数作为能量函数，并证明它在时间上是单调递减的。根据公式（4-5），我们可以定义 Lyapunov 函数 Y：

def lyapunov_function(m_i, p_i):
    return sum([m_i[i] / 2 * p_i[i] ** 2 for i in range(len(m_i))])

我们需要证明，对于所有 t > 0，Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零，即 dY/dt ≤ 0。根据公式（4-3）和（4-4），我们可以得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t))^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t)) - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以将上述等式化简为：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) + (α_0/m_i) ∙ (∆_i (t) ∙ β_i (t)) - (α_0/m_i) ∙ (β_i (t))^2 - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以将上述等式进一步化简，得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) - (p_i)^2 - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以发现，上述等式中的每一项都是非负数。因此，我们可以得出结论，Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零，即 dY/dt ≤ 0，证明了系统的稳定性。