证明0*a_0+a_1+(2^2)*a_2+(3^2)*a_3+....+(7^2)*a_7=0，其中对于任意的k，a_k是一个常数，且满足a_0+2(a_1+a_2+a_3+....+a_7)=1

这个问题可以通过数学归纳法来证明。首先，当a_0=0时，整个式子显然为0。接下来，假设对于任意的n，当a_0=0, a_1, a_2, ..., a_n都是常数且满足a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_n)=1时，都有0*a_0 a_1 (2^2)*a_2 (3^2)*a_3 .... (7^2)*a_7=0成立。那么考虑n+1的情况，即证明0*a_0 a_1 (2^2)*a_2 (3^2)*a_3 .... (7^2)*a_7=0，其中对于任意的k，a_k是一个常数，且满足a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_7)=1，当a_0=0, a_1, a_2, ..., a_n, a_{n+1}都是常数且满足a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_{n+1})=1。根据乘法分配律，可以将式子拆成两部分，即0*a_0 a_1 (2^2)*a_2 (3^2)*a_3 .... (7^2)*a_7=0和a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_{n+1})=1。由于a_0=0，第一部分显然为0。而对于第二部分，根据假设，当a_0=0, a_1, a_2, ..., a_n都是常数且满足a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_n)=1时，都有a_1 a_2 a_3 .... a_n a_{n+1}=(1/2)^(n+1)。因此，a_1 a_2 a_3 .... a_{n+1}=(1/2)^(n+1)，满足a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_{n+1})=1。因此，对于任意的n，当a_0=0, a_1, a_2, ..., a_n都是常数且满足a_0 2(a_1 a_2 a_3 .... a_n)=1时，都有0*a_0 a_1 (2^2)*a_2 (3^2)*a_3 .... (7^2)*a_7=0成立。