画出环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域的关系图。

抱歉，我无法进行手绘，请文字形式呈现。

- 环：由加法和乘法构成的代数系统，满足结合律、交换律、分配律和存在单位元和逆元。
- 交换环：满足乘法交换律的环。
- 有单位元环：存在乘法单位元的环。
- 无零因子环：不含零因子的环，即对于非零元素a和b，若ab=0，则a=0或b=0。
- 整环：既是交换环又是无零因子环的环。
- 除环：每个非零元素都存在乘法逆元的整环。
- 域：既是除环又是交换环的整环。

它们的关系图如下：

        环
       /   \
      /     \
交换环     有单位元环
   |         |
无零因子环  整环
   |         |
   除环     域

相关问题

设D是整环，K是D的商域，设集合S被包含于D为乘法表，证明S的逆是K中包含D的子环

首先，我们需要明确什么是集合S的逆和什么是K中包含D的子环。

集合S的逆是指所有S中元素的逆元素的集合，即$\{s^{-1} | s \in S\}$。

K中包含D的子环指的是一个包含D的子集R，R在加法和乘法下构成一个环。

现在我们来证明S的逆是K中包含D的子环。

首先，由于D是整环，因此每个元素都有唯一的逆元素。所以S的逆是存在的。

其次，我们证明S的逆是K中的子环。我们定义R为S的逆元素构成的集合，即$R=\{s^{-1} | s \in S\}$。

1. R非空：因为D是整环，所以1属于S中，因此1的逆元素1也属于R。

2. R对加法封闭：设$a^{-1}, b^{-1}$属于R，则$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=ab(a+b)^{-1}$。因为S是乘法表，所以$a, b$属于S，因此$a+b$也属于S，$(a+b)^{-1}$也是存在的。因为D是整环，所以$ab$也属于D，因此$ab(a+b)^{-1}$也属于R。

3. R对乘法封闭：设$a^{-1}, b^{-1}$属于R，则$(a^{-1}b^{-1})^{-1}=ab$。因为S是乘法表，所以$a, b$属于S，因此$ab$也属于S，因此$(a^{-1}b^{-1})^{-1}$也属于R。

4. R对加法逆元封闭：设$a^{-1}$属于R，则$(-a)^{-1}=-a^{-1}$属于R。

因此，R在加法和乘法下构成一个环，且包含D，因此S的逆是K中包含D的子环。

给定环U=<R,+,·>,其中R=5Z,+和 ·是通常数的加法和乘法。试判定<R,+,·>是否为整环？

为了判定<R,+,·>是否为整环，我们需要验证以下四个条件：

1. R对于加法和乘法封闭。即，对于任意的a,b∈R，有a+b∈R，a·b∈R。
2. 加法满足交换律。即，对于任意的a,b∈R，有a+b=b+a。
3. 加法满足结合律。即，对于任意的a,b,c∈R，有(a+b)+c=a+(b+c)。
4. 加法有单位元素0。即，存在0∈R，使得对于任意的a∈R，有a+0=a。

对于这个环U，我们可以依次验证这四个条件：

1. 首先，R=5Z，因此a+b和a·b一定都是5的倍数，即都属于R。因此，条件1成立。
2. 加法是通常的数的加法，显然满足交换律。因此，条件2成立。
3. 加法是通常的数的加法，显然满足结合律。因此，条件3成立。
4. 0是整数中的单位元素，因此0∈R。对于任意的a∈R，有a+0=a。因此，条件4成立。

因此，根据以上四个条件，我们可以得出结论：<R,+,·>是一个整环。