请详细介绍稳健估计法的公式算法，并举例说明

稳健估计法（Robust Estimation）是一种使用加权最小二乘法（WLS）来优化目标函数的统计学方法，可以通过抵抗异常值的影响来获得更可靠的估计结果。

假设我们有一个数据集 $y = (y_1, y_2, ..., y_n)$，对应的自变量为 $x = (x_1, x_2, ..., x_n)$，我们要使用加权最小二乘法来对该数据集进行稳健估计。具体来说，我们可以通过以下公式来计算最终的估计结果：

$$
\hat{\beta} = \operatorname*{argmin}_{\beta} \sum_{i=1}^n w_i (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2
$$

其中 $\beta = (\beta_0, \beta_1)$ 是待估计的参数向量，$w_i$ 是第 $i$ 个数据点对应的权重。通常情况下，我们会使用 Huber 权重函数来计算权重，其公式如下：

$$
w_i =
\begin{cases}
1, & |y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i| \le k \\
\frac{k}{|y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i|}, & |y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i| > k
\end{cases}
$$

其中 $k$ 是一个常数，通常取值为 1.345。当数据点的残差小于等于 $k$ 时，其权重为 1，表示该数据点对估计结果的影响较小；当数据点的残差大于 $k$ 时，其权重会逐渐减小，表示该数据点对估计结果的影响较大。

举个例子，假设我们有如下数据集：

| x | y |
| - | - |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
| 6 | 100 |

其中最后一个数据点 100 是一个异常值。我们可以使用稳健估计法来得到该数据集的线性回归模型：

1. 首先，我们需要初始化参数 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的初始值。通常情况下，我们可以使用普通最小二乘法（OLS）来得到初始值。

$$
\begin{aligned}
\hat{\beta}_{OLS} &= (X^TX)^{-1}X^Ty \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \\ 10 \\ 100 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -17.333 \\ 18.667 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

其中 $X$ 是由 $x$ 向量组成的矩阵，前面加上一列 1。

2. 接下来，我们可以根据 Huber 权重函数来计算每个数据点的权重。假设我们取 $k=1.345$，则数据点的权重如下：

| x | y | $|y - \hat{y}|$ | weight |
| - | - | - | - |
| 1 | 2 | 0.333 | 1 |
| 2 | 4 | 0.667 | 1 |
| 3 | 6 | 1 | 1 |
| 4 | 8 | 1.333 | 1 |
| 5 | 10 | 1.667 | 1 |
| 6 | 100 | 81.333 | 0.016 |

其中 $\hat{y}$ 是根据当前的参数 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 计算出的预测值。

3. 根据加权最小二乘法来重新估计参数 $\beta$。我们可以通过迭代来逐步优化参数，直到收敛。在每次迭代中，我们需要根据当前的参数 $\beta$ 来计算每个数据点的预测值 $\hat{y}$，以及每个数据点的权重 $w_i$。然后，我们可以根据加权最小二乘法的公式来更新参数 $\beta$：

$$
\begin{aligned}
\hat{\beta} &= (X^TWX)^{-1}X^TWy \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} w_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w_5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w_6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 2.000 \\ 1.600 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

其中 $W$ 是一个对角线矩阵，对角线上的元素为每个数据点的权重。

可以看到，通过使用稳健估计法，我们得到的线性回归模型的斜率从原来的 18.667 降低到 1.6，更接近真实的斜率 2。同时，异常值对估计结果的影响也被有效抑制。