举例说明方程组在无穷范数和一范数下求出的解与准确解之间、扰动方程的右端项和原右端项的相对误差产生的原因

考虑如下方程组：

$$
\begin{cases}
x+y+z=1\\
x-y+z=2\\
2x+y+3z=5
\end{cases}
$$

我们可以将其写为矩阵形式：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}
$$

我们可以使用高斯消元法求解该方程组得到精确解：$x=1, y=0, z=0$。但是，如果我们使用无穷范数或一范数来求解该方程组，可能会得到不同的解。

对于无穷范数，我们需要求矩阵的每一行的绝对值之和，即：

$$
\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|
$$

对于本例中的矩阵 $A$，我们有 $\|A\|_{\infty}=6$。因此，我们使用无穷范数来求解该方程组，可以得到：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{pmatrix} \Rightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{6} \\
\frac{7}{18} \\
\frac{5}{18}
\end{pmatrix}
$$

这个解与精确解不同。原因是使用无穷范数时，我们会将每一行的误差“最大化”，因此，对于其中某些行的误差较大的情况下，可能会得到与精确解不同的解。

同样的，如果我们使用一范数来求解该方程组，我们需要求矩阵的每一列的绝对值之和，即：

$$
\|A\|_{1} = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|
$$

对于本例中的矩阵 $A$，我们有 $\|A\|_{1}=6$。因此，我们使用一范数来求解该方程组，可以得到：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{pmatrix} \Rightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

这个解与精确解相同。原因是使用一范数时，我们会将每一列的误差“最大化”，因此，对于其中某些列的误差较大的情况下，可能会得到与精确解不同的解。

对于扰动方程的右端项和原右端项的相对误差，可以考虑将原方程组写为：

$$
A x = b
$$

假设扰动后的右端项为 $b+\Delta b$，我们可以将扰动后的方程写为：

$$
A x = b+\Delta b
$$

两边同时减去原方程：

$$
A x - A x = b+\Delta b - b \Rightarrow
A \Delta x = \Delta b
$$

其中，$\Delta x$ 表示扰动后的解与原解之间的差。我们可以利用条件数的定义，推导出：

$$
\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \leq \kappa(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}
$$

其中，$\kappa(A)$ 表示矩阵 $A$ 的条件数。可以看出，如果 $\kappa(A)$ 很大，那么即使扰动项很小，也会导致解的相对误差变得很大。因此，当矩阵的条件数很大时，我们需要谨慎处理扰动项，以避免误差的累积。