《算法导论》课后习题 给出以下输入dag,显示kruskal算法的处理步骤

Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。对于有向无环图（DAG）而言，不存在“生成树”的概念，因此Kruskal算法不适用于DAG。

但如果我们考虑将DAG看成一个无向图，那么Kruskal算法依然可以被用来求解最小生成树。

输入的DAG可以被视为一个带权有向图，其中边的权重表示两个顶点之间的距离。Kruskal算法的步骤如下：

1. 将每个顶点看成一个单独的集合。

2. 将所有边按照权重从小到大排序。

3. 遍历每条边，将其两端的顶点所属的集合合并，如果两个顶点已经在同一个集合中，则不加入该边（因为会形成环）。

4. 重复步骤3直到遍历完所有边。

以下是输入DAG的图示和对应的Kruskal算法处理步骤。


1. 将每个顶点看成单独的集合。

2. 将边按照权重排序。

3. 选取权重最小的边(2, 1)，将其两端的顶点所处的集合合并。

4. 选取权重次小的边(3, 1)，并将其两端顶点所处的集合合并。

5. 选取权重再次小的边(4, 2)，并将其两端顶点所处的集合合并。

6. 选取权重次小的边(5, 3)，并将其两端顶点所处的集合合并。

7. 选取权重再次小的边(6, 3)，并将其两端顶点所处的集合合并。

8. 选取权重再次小的边(7, 6)，并将其两端顶点所处的集合合并。

最终形成的最小生成树为(2, 1)、(3, 1)、(4, 2)、(5, 3)、(6, 3)、(7, 6)。

相关问题

DAG 重建四元式序列算法

DAG（有向无环图）重建四元式序列算法，也称为 DAG 优化，是一种基于控制流图（CFG）的优化算法。它可以通过减少冗余计算来提高程序的性能。

DAG 重建四元式序列算法的基本思路是：

1. 构建控制流图（CFG）。
2. 对每个基本块（B）进行 DAG 优化，生成一个 DAG 图。
3. 从 DAG 图中提取出顺序执行的四元式序列。
4. 将所有基本块的优化后的四元式序列连接起来，形成最终的优化后的四元式序列。

具体实现上，可以采用以下步骤：

1. 对每个基本块（B）进行 DAG 优化。
1) 对 B 中的每个表达式（E）进行遍历，将 E 中的每个操作数（O）替换为对应的结果节点。
2) 如果在 DAG 图中找到了与 E 相同的节点，则将 E 替换为该节点。
3) 如果没有找到与 E 相同的节点，则在 DAG 图中创建一个新节点，并将 E 替换为该节点。
2. 从 DAG 图中提取出顺序执行的四元式序列。
1) 从 DAG 图的叶子节点开始遍历，每遍历到一个节点就将其对应的四元式添加到序列中。
2) 如果该节点是一个中间节点，则递归地遍历其子节点，直到遍历到叶子节点为止。
3. 将所有基本块的优化后的四元式序列连接起来，形成最终的优化后的四元式序列。

需要注意的是，在进行 DAG 优化时，需要考虑到各种情况，例如，需要处理控制流分支、循环、函数调用等。

DAG求拓扑排序的算法

DAG的拓扑排序算法可以用来确定每个节点在拓扑排序中的位置。具体算法如下：

1. 找到DAG中没有前置节点的节点，并将其加入结果列表中。

2. 删除该节点以及其出边。

3. 重复1和2，直到所有的节点都在结果列表中。

如果DAG中存在环路，则该算法无法完成排序。

以下是一个Python实现：

def topo_sort(graph):
    # 统计每个节点的前置节点数
    in_degree = {u: 0 for u in graph}
    for u in graph:
        for v in graph[u]:
            in_degree[v] += 1
    
    # 初始化队列
    queue = [u for u in graph if in_degree[u] == 0]
    
    # 拓扑排序
    result = []
    while queue:
        # 取出队首节点
        u = queue.pop(0)
        result.append(u)
        
        # 删除该节点及其出边
        for v in graph[u]:
            in_degree[v] -= 1
            if in_degree[v] == 0:
                queue.append(v)
    
    # 如果存在环路，则排序失败
    if len(result) != len(graph):
        return None
    else:
        return result

其中，参数graph是一个字典，表示DAG中每个节点及其出边。例如，如果DAG有三个节点0、1、2，其中0指向1和2，1指向2，则可以表示为{0: [1, 2], 1: [2], 2: []}。函数返回拓扑排序后的节点列表，如果存在环路则返回None。