《算法导论》课后习题 给出以下输入dag,显示kruskal算法的处理步骤
时间: 2023-06-15 10:01:40 浏览: 93
Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。对于有向无环图(DAG)而言,不存在“生成树”的概念,因此Kruskal算法不适用于DAG。
但如果我们考虑将DAG看成一个无向图,那么Kruskal算法依然可以被用来求解最小生成树。
输入的DAG可以被视为一个带权有向图,其中边的权重表示两个顶点之间的距离。Kruskal算法的步骤如下:
1. 将每个顶点看成一个单独的集合。
2. 将所有边按照权重从小到大排序。
3. 遍历每条边,将其两端的顶点所属的集合合并,如果两个顶点已经在同一个集合中,则不加入该边(因为会形成环)。
4. 重复步骤3直到遍历完所有边。
以下是输入DAG的图示和对应的Kruskal算法处理步骤。
![image.png](https://i.loli.net/2021/09/28/7q6U9N2W3jDvxgo.png)
1. 将每个顶点看成单独的集合。
2. 将边按照权重排序。
3. 选取权重最小的边(2, 1),将其两端的顶点所处的集合合并。
4. 选取权重次小的边(3, 1),并将其两端顶点所处的集合合并。
5. 选取权重再次小的边(4, 2),并将其两端顶点所处的集合合并。
6. 选取权重次小的边(5, 3),并将其两端顶点所处的集合合并。
7. 选取权重再次小的边(6, 3),并将其两端顶点所处的集合合并。
8. 选取权重再次小的边(7, 6),并将其两端顶点所处的集合合并。
最终形成的最小生成树为(2, 1)、(3, 1)、(4, 2)、(5, 3)、(6, 3)、(7, 6)。
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DAG 重建四元式序列算法
DAG(有向无环图)重建四元式序列算法,也称为 DAG 优化,是一种基于控制流图(CFG)的优化算法。它可以通过减少冗余计算来提高程序的性能。
DAG 重建四元式序列算法的基本思路是:
1. 构建控制流图(CFG)。
2. 对每个基本块(B)进行 DAG 优化,生成一个 DAG 图。
3. 从 DAG 图中提取出顺序执行的四元式序列。
4. 将所有基本块的优化后的四元式序列连接起来,形成最终的优化后的四元式序列。
具体实现上,可以采用以下步骤:
1. 对每个基本块(B)进行 DAG 优化。
1) 对 B 中的每个表达式(E)进行遍历,将 E 中的每个操作数(O)替换为对应的结果节点。
2) 如果在 DAG 图中找到了与 E 相同的节点,则将 E 替换为该节点。
3) 如果没有找到与 E 相同的节点,则在 DAG 图中创建一个新节点,并将 E 替换为该节点。
2. 从 DAG 图中提取出顺序执行的四元式序列。
1) 从 DAG 图的叶子节点开始遍历,每遍历到一个节点就将其对应的四元式添加到序列中。
2) 如果该节点是一个中间节点,则递归地遍历其子节点,直到遍历到叶子节点为止。
3. 将所有基本块的优化后的四元式序列连接起来,形成最终的优化后的四元式序列。
需要注意的是,在进行 DAG 优化时,需要考虑到各种情况,例如,需要处理控制流分支、循环、函数调用等。
DAG求拓扑排序的算法
DAG的拓扑排序算法可以用来确定每个节点在拓扑排序中的位置。具体算法如下:
1. 找到DAG中没有前置节点的节点,并将其加入结果列表中。
2. 删除该节点以及其出边。
3. 重复1和2,直到所有的节点都在结果列表中。
如果DAG中存在环路,则该算法无法完成排序。
以下是一个Python实现:
```python
def topo_sort(graph):
# 统计每个节点的前置节点数
in_degree = {u: 0 for u in graph}
for u in graph:
for v in graph[u]:
in_degree[v] += 1
# 初始化队列
queue = [u for u in graph if in_degree[u] == 0]
# 拓扑排序
result = []
while queue:
# 取出队首节点
u = queue.pop(0)
result.append(u)
# 删除该节点及其出边
for v in graph[u]:
in_degree[v] -= 1
if in_degree[v] == 0:
queue.append(v)
# 如果存在环路,则排序失败
if len(result) != len(graph):
return None
else:
return result
```
其中,参数graph是一个字典,表示DAG中每个节点及其出边。例如,如果DAG有三个节点0、1、2,其中0指向1和2,1指向2,则可以表示为{0: [1, 2], 1: [2], 2: []}。函数返回拓扑排序后的节点列表,如果存在环路则返回None。
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