MATLAB设计一个状态反馈矩阵,使闭环系统的极点为
时间: 2023-06-02 21:02:22 浏览: 135
-1, -2, -3。
首先,根据极点的要求,我们可以构造一个三阶系统的传递函数:
$$
G(s) = \frac{k}{(s+1)(s+2)(s+3)}
$$
其中,$k$是待定系数,需要根据设计的状态反馈矩阵来确定。
接下来,我们设计一个状态反馈矩阵:
$$
F = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & f_3 \end{bmatrix}
$$
则,闭环系统的传递函数为:
$$
G_{closed}(s) = \frac{kF(sI-A+BK)^{-1}B}{1+kF(sI-A+BK)^{-1}B}
$$
其中,$A$、$B$分别为系统的状态空间模型中的状态矩阵和输入矩阵,$K$为反馈增益矩阵,$I$为单位矩阵。
为了使闭环系统的极点为-1、-2、-3,我们需要选择合适的反馈增益矩阵$K$和待定系数$k$。根据状态反馈的设计原理,我们可以使用极点配置法来确定$K$和$k$的取值。
首先,根据系统的状态空间模型,我们可以求得系统的状态矩阵$A$和输入矩阵$B$:
$$
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\quad
B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
然后,根据极点配置法的公式,我们可以求得反馈增益矩阵$K$:
$$
K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 & k_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 24 & 16 \end{bmatrix}
$$
最后,根据$k$的取值,我们可以求得传递函数$G(s)$的系数$k$:
$$
k = \frac{1}{B(s)}\bigg|_{s=0} = 3
$$
将得到的$K$和$k$代入闭环系统的传递函数中,即可得到满足要求的状态反馈矩阵:
$$
F = \begin{bmatrix} 9 & 24 & 16 \end{bmatrix}
$$
最终,闭环系统的传递函数为:
$$
G_{closed}(s) = \frac{3\begin{bmatrix} 9 & 24 & 16 \end{bmatrix}(sI-A+BK)^{-1}B}{1+3\begin{bmatrix} 9 & 24 & 16 \end{bmatrix}(sI-A+BK)^{-1}B}
$$
其极点为-1、-2、-3,满足要求。