通过欧拉公式推导出圆周率

欧拉公式是一个数学公式，可以表示为 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，x 是任意实数。欧拉公式的推导需要使用泰勒级数、三角函数等相关知识，比较复杂，但可以利用欧拉公式推导出圆周率的一个公式：

π = lim(n→∞) [(1 + 1/n)^n * sin(π/n)]

其中 lim 表示极限，n表示一个无限大的自然数。这个公式可以通过欧拉公式推导出来，具体过程如下：

将欧拉公式中的 x 替换为 π/n，得到 e^(iπ/n) = cos(π/n) + i*sin(π/n)。

将欧拉公式中的 x 替换为 -π/n，得到 e^(-iπ/n) = cos(-π/n) + i*sin(-π/n) = cos(π/n) - i*sin(π/n)。

将这两个式子相加，得到 e^(iπ/n) + e^(-iπ/n) = 2cos(π/n)。

将 cos(π/n) 移项，得到 cos(π/n) = (e^(iπ/n) + e^(-iπ/n))/2。

利用欧拉公式中的 sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)，将 sin(π/n) 表示为 e^(iπ/n) 和 e^(-iπ/n) 的差，得到 sin(π/n) = (e^(iπ/n) - e^(-iπ/n))/(2i)。

将 cos(π/n) 和 sin(π/n) 代入 π = 2nr*sin(π/n) 中，得到 π = lim(n→∞) [(1 + 1/n)^n * sin(π/n)]。

这个公式可以用来计算圆周率的近似值，需要不断增大 n 的值才能得到更精确的结果。例如，当 n=1000000 时，利用这个公式可以计算出 π 的近似值为 3.14159265359，与真实值的误差非常小。