某产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重量为 50kg,标准差是 5kg. 现用载重为 5t 的汽车承运.试问,汽车最多只能装多少箱,才能使不超载的概率不小于 0.95?(
时间: 2024-03-26 18:36:51 浏览: 45
设每箱重量 $X\sim N(50,5^2)$,共装 $n$ 箱,则总重量 $W=nX$ 也服从正态分布 $N(\mu_n,\sigma_n^2)$,其中 $\mu_n=n\times50$,$\sigma_n^2=n\times5^2$,即:
$$ W\sim N(50n,25n) $$
为了使汽车不超载,必须满足 $W\leq 5000$,即:
$$ nX\leq 5000 $$
$$ n\leq \frac{5000}{X} $$
因此,不超载的概率为:
$$ P\left(n\leq \frac{5000}{X}\right)=P\left(X\geq \frac{5000}{n}\right) $$
由于 $X$ 服从正态分布,可以将其标准化为 $Z\sim N(0,1)$:
$$ P\left(X\geq \frac{5000}{n}\right)=P\left(\frac{X-50}{5}\geq \frac{5000/ n -50}{5}\right)=P\left(Z\geq \frac{5000/ n -50}{5}\right) $$
要使不超载的概率不小于 0.95,则有:
$$ P\left(Z\geq \frac{5000/ n -50}{5}\right)\geq 0.95 $$
查正态分布表可知,当 $Z=1.645$ 时,$P(Z\geq 1.645)=0.05$。因此,上式可以改写为:
$$ \frac{5000/ n -50}{5}\geq 1.645 $$
解得 $n\leq 22$。因此,汽车最多只能装 22 箱,才能使不超载的概率不小于 0.95。
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