请证明欧拉公式，ejθ = cos(θ) + isin(θ)

欧拉公式证明如下：

我们从傅里叶级数说起。一个周期为T的函数f(x)可以表示为一个无穷级数，即：

f(x) = a0 + ∑(an*cos(2πnx/T) + bn*sin(2πnx/T))

其中，a0是一个常数，an和bn是不为零的系数。对于一个周期为2π的函数，我们可以把T设为2π。于是，该函数的傅里叶级数就变成了：

f(x) = a0 + ∑(an*cos(nx) + bn*sin(nx))

这个无穷级数是收敛的，可以表示为一个复数的幅角和模长的乘积：

f(x) = ∑(Cn * e^(inx))

其中，Cn表示该函数在傅里叶级数中对应的系数，e表示自然常数，i表示虚数单位。

我们来考虑一下e的幂函数。根据泰勒级数的定义，e^x可以表示为：

e^x = ∑(x^n / n!)

把x换成ix，得到：

e^(ix) = ∑(i^n * x^n / n!)

展开式中的i^n，当n为偶数时为1，当n为奇数时为i。于是，把n分为奇偶两种情况，得到：

e^(ix) = ∑(x^(2n) / (2n)!) + i * ∑(x^(2n+1) / (2n+1)!)

这两个级数分别是cos(x)和sin(x)的幂级数表达式。于是可以得到：

e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)

这就是欧拉公式。它表示了一个复数e^(ix)可以在复平面上用一个长度为1，与实轴夹角为x的向量来表示。其中，cos(x)和sin(x)分别代表了这个向量在实轴和虚轴上的投影。