某工厂生产打火机,其中有10%的打火机存在缺陷。为了保证产品质量,该工厂会从生产线上随机抽检,若发现一批货物中存在缺陷数量超过5个,则认为该批货物不合格并全部拦截。现在,假设从工厂生产线中抽检了60只打火机,求以下几个问题: 在这60只打火机中,恰好存在6只缺陷打火机的概率是多少? 在这60只打火机中,存在5只或更多缺陷打火机的概率是多少? 抽检100批打火机中,有至少10批打火机不合格的概率是多少?
时间: 2024-04-01 16:34:15 浏览: 11
1. 在这60只打火机中,恰好存在6只缺陷打火机的概率:
根据题目,每只打火机存在缺陷的概率为0.1,不存在缺陷的概率为0.9。因此,可以使用二项分布来求解。
在60只打火机中,恰好存在6只缺陷打火机的概率为:
$$
P(X=6)=\binom{60}{6}(0.1)^6(0.9)^{54} \approx 0.1121
$$
其中,$X$表示60只打火机中缺陷打火机的数量。因此,恰好存在6只缺陷打火机的概率为0.1121。
2. 在这60只打火机中,存在5只或更多缺陷打火机的概率:
根据题目,每只打火机存在缺陷的概率为0.1,不存在缺陷的概率为0.9。因此,可以使用二项分布或泊松分布来求解。
在60只打火机中,存在5只或更多缺陷打火机的概率为:
$$
\begin{aligned}
P(X \geq 5) &= P(X=5)+P(X=6)+ \cdots + P(X=60) \\
&= \sum_{k=5}^{60} \binom{60}{k}(0.1)^k(0.9)^{60-k} \\
&\approx 0.3084
\end{aligned}
$$
其中,$X$表示60只打火机中缺陷打火机的数量。因此,存在5只或更多缺陷打火机的概率为0.3084。
3. 抽检100批打火机中,有至少10批打火机不合格的概率:
根据题目,每批打火机不合格的概率为$P$,因为每批打火机的抽样是独立的,所以可以使用二项分布来求解。
在100批打火机中,有至少10批打火机不合格的概率为:
$$
\begin{aligned}
P(X \geq 10) &= P(X=10)+P(X=11)+ \cdots + P(X=100) \\
&= \sum_{k=10}^{100} \binom{100}{k}P^k(1-P)^{100-k}
\end{aligned}
$$
其中,$X$表示100批打火机中不合格打火机的批数。
为了求解该概率,需要知道不合格打火机的概率$P$。根据题目可知,如果一批打火机中存在缺陷数量超过5个,则认为该批货物不合格并全部拦截。因此,在一批打火机中存在缺陷数量超过5个的概率为:
$$
\begin{aligned}
P &= P(X \geq 6) \\
&= P(X=6)+P(X=7)+ \cdots + P(X=60) \\
&= \sum_{k=6}^{60} \binom{60}{k}(0.1)^k(0.9)^{60-k} \\
&\approx 0.1227
\end{aligned}
$$
代入公式,可得:
$$
\begin{aligned}
P(X \geq 10) &= \sum_{k=10}^{100} \binom{100}{k}(0.1227)^k(0.8773)^{100-k} \\
&\approx 0.0043
\end{aligned}
$$
因此,抽检100批打火机中,有至少10批打火机不合格的概率为0.0043。