两电子系统的自旋波函数 |𝜒⟩ = 𝑐1 |↑↑⟩ + 𝑐2 |↑↓⟩ + 𝑐3 |↓↑⟩ + 𝑐4 |↓↓⟩ 对这一状态，测量第一个电子的自旋分量𝑠1𝑥总是+ 1/2 ℏ，并且测第二个电子的自旋分量𝑠2𝑦总 是为− 1/2 ℏ。求𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4。

根据题意，测量第一个电子的自旋分量𝑠1𝑥总是+ 1/2 ℏ，因此第一个电子处于状态 |↑⟩ 或 |↓⟩。而测量第二个电子的自旋分量𝑠2𝑦总是为− 1/2 ℏ，因此第二个电子处于状态 |↓⟩ 或 |↓⟩。

假设第一个电子处于状态 |↑⟩，第二个电子处于状态 |↓⟩，则测量这个状态的概率为：

P = |𝑐2|^2

因此，我们要求的系数𝑐2可以通过以下公式计算：

𝑐2 = ±√P

其中正负号取决于相位因子，我们可以任意选择。在这里，我们选择正号。

类似地，如果第一个电子处于状态 |↓⟩，第二个电子处于状态 |↑⟩，则测量这个状态的概率也为P，系数𝑐3可以计算为：

𝑐3 = ±√P

同样选择正号。而由于第一个电子处于状态 |↑⟩ 或 |↓⟩，因此系数𝑐1和𝑐4的模长平方之和为1-P，即：

|𝑐1|^2 + |𝑐4|^2 = 1 - P

我们无法确定具体的𝑐1和𝑐4，但是可以确定它们的相对大小关系。因为如果|𝑐1|^2 > |𝑐4|^2，则第一个电子处于状态 |↑⟩ 的概率大于处于状态 |↓⟩ 的概率，与测量结果不符。因此，必须有：

|𝑐1|^2 ≤ |𝑐4|^2

综上所述，系数𝑐1、𝑐2、𝑐3、𝑐4满足以下条件：

|𝑐1|^2 + |𝑐4|^2 = 1 - |𝑐2|^2 = 1 - |𝑐3|^2
|𝑐1|^2 ≤ |𝑐4|^2
𝑐2 = 𝑐3 = ±√P，选择正号即可。