最小耗费优先遍历算法 输入:待排列的全部圆的半径R集合，圆的总数n 输出:最小圆排列距离Vmin，最优排列方案Path 算法: 1. 令Vmin为一个理论上绝对足够长的距离, Path=[] 2. 令ANode=zeros(n+1,n), ANode(1,:)=1:n, ANode(n+1,:)=1 (最后一行记录X中已确定部分数量) 3. 根据ANode(:,1)的信息计算出AVal和ABound(利用代价函数)对应的值 4. 当ANode非空时循环 5. --令AVal中最小值下标为loc, 则令X=ANode(1:n,loc), k=ANode(n+1,loc) 6. --如果ABound(loc)小于Vmin 7. ----对X(k+1)={1,2,...,n}-{X(1),X(2),...,X(k)}进行循环 8. ------如果k+1小于n, 即X(1:(k+1))为非叶结点 9. --------令lb为由X的前k+1个部分信息利用代价函数计算出的ABound的值 10. --------若lb小于Vmin，则把[X;k+1]加入ANode，把X对应的当前价值加入AVal，把lb加入Abound 11. ------否则 12. --------计算X的当前价值，并确定是否更新Vmin和Path 13. --从ANode中删去第loc列，从AVal中删去第loc个元素，从ABound中删去第loc个元素，编写对应的matlab程序，解决圆排列分支限界法

以下是最小耗费优先遍历算法的 MATLAB 实现：

function [Vmin, Path] = circle_arrangement(R)
% 输入：待排列的全部圆的半径 R 集合，圆的总数 n
% 输出：最小圆排列距离 Vmin，最优排列方案 Path

n = length(R);          % 圆的总数
Vmin = inf;             % 最小距离初值
Path = [];              % 最优路径初值

ANode = zeros(n+1, n);  % 待扩展的结点集合，每列对应一个结点
ANode(1,:) = 1:n;       % 初始结点为圆的初始排列
ANode(n+1,:) = 1;       % 圆的已知排列数量
AVal = zeros(1, n);     % 待扩展的结点对应的代价值
ABound = zeros(1, n);   % 待扩展的结点对应的下界

while ~isempty(ANode)
    [minVal, loc] = min(AVal);  % 找到代价值最小的结点
    X = ANode(1:n, loc);        % 取出对应的排列
    k = ANode(n+1, loc);        % 取出已知排列数量
    if ABound(loc) < Vmin       % 如果下界小于当前最小距离
        for j = setdiff(1:n, X(1:k))
            % 对 X(k+1)={1,2,...,n}-{X(1),X(2),...,X(k)} 进行循环
            if k+1 < n             % 非叶结点
                lb = calculate_lower_bound(X(1:k+1), R);  % 计算下界
                if lb < Vmin
                    newX = [X; j];
                    newk = k + 1;
                    ANode(:, end+1) = [newX; newk];
                    AVal(end+1) = calculate_distance(newX, R);
                    ABound(end+1) = lb;
                end
            else                   % 叶结点
                newX = [X; j];
                newk = k + 1;
                val = calculate_distance(newX, R);
                if val < Vmin
                    Vmin = val;
                    Path = newX;
                end
            end
        end
    end
    % 从待扩展的结点集合中删除当前结点
    ANode(:, loc) = [];
    AVal(loc) = [];
    ABound(loc) = [];
end

end

function d = calculate_distance(X, R)
% 计算排列 X 对应的圆排列距离
n = length(X);
d = 0;
for i = 1:n
    for j = i+1:n
        d = d + 2 * sqrt(R(X(i)) * R(X(j)));
    end
end
end

function lb = calculate_lower_bound(X, R)
% 计算排列 X 对应的下界
n = length(X);
lb = sum(2 * R(X(1:end-1))) + 2 * sqrt(R(X(end)) * R(X(1)));
for i = 1:n-1
    for j = i+1:n-1
        if R(X(i)) > R(X(j))
            t = X(i);
            X(i) = X(j);
            X(j) = t;
        end
    end
end
for i = 1:n-1
    lb = lb - 2 * sqrt(R(X(i)) * R(X(i+1)));
end
end

上述代码中，`circle_arrangement` 函数实现了最小耗费优先遍历算法，`calculate_distance` 函数计算排列对应的圆排列距离，`calculate_lower_bound` 函数计算排列对应的下界。运行该函数，即可得到最小圆排列距离和最优排列方案。