一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物,如图所示.绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑.两个定滑轮的转动惯量均为 .将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放,求两滑轮之间绳内的张力。
时间: 2024-02-26 07:53:14 浏览: 138
根据等效原理,我们可以将两个定滑轮和绳看作一个整体,质量为 $4m$,对应的重心位于两个定滑轮的连线中点。
在释放前,系统重心位于静止状态下的重心高度 $h=2r$ 处,释放后重心将下落,同时滑轮开始转动。根据能量守恒定律,释放前系统的重力势能全部转化为释放后系统的动能和重力势能:
$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$
其中 $v$ 和 $\omega$ 分别是重物下落的速度和滑轮的角速度,$I$ 是两个定滑轮的转动惯量。
我们可以利用滑轮的运动情况,将 $v$ 和 $\omega$ 相关联。由于绳不能相对滑轮滑动,所以两个定滑轮的切向速度必须相等,即
$$v = \omega r$$
又因为绳不可伸长,所以 $m$ 和 $2m$ 的重物下落距离相等,即
$$h = 2r = \frac{v^2}{2g}$$
将以上两个式子代入能量守恒式中,消去 $v$ 和 $h$,得到
$$T = \frac{3}{4}mg$$
其中 $T$ 是两滑轮之间绳内的张力。
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