求双曲抛物面z=xy被柱面x²+y²=1(x>=0,y>=0)截下的部分的面积

首先，柱面$x^2 + y^2 = 1$在第一象限中的投影区域为一个四分之一的圆盘，即$D = \{(x,y)|x\ge 0, y\ge 0, x^2 + y^2 \le 1\}$，如下图所示：


其次，双曲抛物面$z=xy$在第一象限中可以表示为$z = f(x,y) = xy$，如下图所示：


因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为：

$$
\begin{aligned}
S &= \iint\limits_D f(x,y) d\sigma \\
&= \int\limits_0^1\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}} xy dy dx \\
&= \int\limits_0^1 x\left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx \\
&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 x(1-x^2) dx \\
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^1 \\
&= \frac{1}{8}
\end{aligned}
$$

因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为$\frac{1}{8}$。