求双曲抛物面z=xy被柱面x²+y²=1(x>=0,y>=0)截下的部分的面积

首先，柱面$x^2 + y^2 = 1$在第一象限中的投影区域为一个四分之一的圆盘，即$D = \{(x,y)|x\ge 0, y\ge 0, x^2 + y^2 \le 1\}$，如下图所示：


其次，双曲抛物面$z=xy$在第一象限中可以表示为$z = f(x,y) = xy$，如下图所示：


因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为：

$$
\begin{aligned}
S &= \iint\limits_D f(x,y) d\sigma \\
&= \int\limits_0^1\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}} xy dy dx \\
&= \int\limits_0^1 x\left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx \\
&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 x(1-x^2) dx \\
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^1 \\
&= \frac{1}{8}
\end{aligned}
$$

因此，被柱面$x^2+y^2=1$截下的部分的面积为$\frac{1}{8}$。

相关问题

z=x²+y²+xy是什么图像

这是一个二次曲面方程，具体的图像取决于xz平面和yz平面上的截面。在xz平面上，当y=0时，方程简化为z=x²，这是一个开口向上的抛物面；当x=0时，方程简化为z=y²，这也是一个开口向上的抛物面。在yz平面上，当x=0时，方程简化为z=y²，这仍然是一个开口向上的抛物面；当y=0时，方程简化为z=x²，也是一个开口向上的抛物面。因此，这个方程描述的是一个沿着z轴向上开口的双曲抛物面。

用matlab做双曲抛物面z=x²-y²/4的图形，其中-6≤x≤6,-14≤y≤14

可以使用meshgrid函数生成x和y的网格点坐标，然后计算z的值，最后使用surf函数绘制双曲抛物面的图形。

代码如下：

% 定义x和y的范围和步长
x = linspace(-6, 6, 100);
y = linspace(-14, 14, 100);

% 生成x和y的网格点坐标
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 计算z的值
Z = X.^2 - Y.^2/4;

% 绘制双曲抛物面的图形
surf(X, Y, Z);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
title('双曲抛物面 z=x^2-y^2/4');

运行代码可以得到如下图形：