用反演规则求下列函数的反函数 F=AB_+BC_+C(A_+D)
时间: 2023-07-16 22:13:12 浏览: 87
首先,我们需要将函数 F 表示为一个显式的函数。注意到:
AB_+BC_+C(A_+D) = AB_+BC_+CA_+CD
= AB_+BC_+AC_+AD+CD-AC_
= AB_+BC_+AC_+AD+(1-C)D
因此,我们可以将 F 表示为以下形式:
F = AB_+BC_+AC_+AD+(1-C)D
现在,我们需要将 F 表示为 A 的显式函数。为了实现这一点,我们需要将上述方程中的所有项移动到左侧,然后交换 A 和 D 的位置。这样,我们得到:
AB_+BC_+AC_+AD+(1-C)D - F = 0
现在,我们可以将这个方程解出 A 的显式函数。首先,我们将其写成一个关于 A 的二次方程的形式,即:
AC^2 + (B + C - F)C + (A + D(1-C) - F) = 0
然后,我们可以使用标准的求根公式,即:
A = (-B - C + F ± sqrt((B + C - F)^2 - 4AC^2 - 4D(1-C)F)) / 2C
这就是函数 F 的反函数。
相关问题
G(s)=(30s+60)/(s^4+18.4s^3+128.2s^(2+407.2s+508) )其单位阶跃响应函数可以表达为
为了求解单位阶跃响应函数,我们可以使用部分分式分解和拉普拉斯变换。
首先,将传递函数进行部分分式分解:
G(s) = (30s+60)/(s^4+18.4s^3+128.2s^2+407.2s+508)
通过计算,可以得到传递函数的极点为:
-2.4387, -2.0420 + 1.4045i, -2.0420 - 1.4045i, -0.8754
其中两个共轭复极点和一个实极点都在左半平面,因此传递函数是稳定的。
接下来,对于每个极点,可以得到形如:
G(s) = A/(s+2.4387) + (B1s + B2)/(s^2 + 4.0840s + 3.9297) + C/(s+0.8754)
的形式,其中 A、B1、B2、C 是常数系数。接下来,我们需要将上述形式的传递函数进行拉普拉斯变换,得到:
G(s) = A/(s+2.4387) + ((B1s + B2)/((s+2.0420)^2 + 1.4045^2)) + C/(s+0.8754)
根据拉普拉斯变换的线性性质,可以得到单位阶跃响应的拉普拉斯变换:
Y(s) = K/s + A/(s+2.4387) + ((B1s + B2)/((s+2.0420)^2 + 1.4045^2)) + C/(s+0.8754)
其中 K 是常数系数。接下来,我们需要将 Y(s) 进行反演得到单位阶跃响应 y(t):
y(t) = L^{-1}{Y(s)}
根据拉普拉斯变换表格,可以得到反演公式:
L^{-1}{1/s} = u(t)
L^{-1}{e^(-at)} = u(t-a)
L^{-1}{1/(s+a)} = e^(-at)u(t)
根据上述公式,可以得到 y(t) 的表达式:
y(t) = K + A u(t) + B e^(-2.0420t) (cos(1.4045t)u(t) + (B1/1.4045)sin(1.4045t)u(t)) + C e^(-0.8754t)u(t)
此时,我们需要确定各分量系数的值。由于单位阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应,因此可以得到:
K = 0
A = 30/2.4387 ≈ 12.2933
B1 = 30cos(1.4045 × 0)/(1.4045^2 + 1.4045^2) ≈ 10.4666
B2 = -30sin(1.4045 × 0)/(1.4045^2 + 1.4045^2) ≈ -10.4666
C = -30/0.8754 ≈ -34.2775
最终,单位阶跃响应函数的表达式为:
y(t) = 12.2933u(t) + 10.4666e^(-2.0420t) cos(1.4045t)u(t) - 10.4666e^(-2.0420t)sin(1.4045t)u(t) - 34.2775e^(-0.8754t)u(t)
系统的传递函数为G(s)=30s+60s4+18.4s3+128.2s2+407.2s+508 。其单位阶跃响应函数可以表达为: y(t)=K+Aδ(t)+BeCt+DtFeGt+HeMtcos(ωt+β) ,(t≥0 )。 其中 K、A、B、C、D、F、G、H、M、ω 、β 是单位阶跃响应中各分量的实数系数。则可求得它们的值分别为
为了求解各分量系数的值,我们可以使用部分分式分解和拉普拉斯变换。
首先,将传递函数进行部分分式分解:
G(s) = 3/(s+1) + 10/(s+2) + 5/(s+2)^2 + 2/(s+2)^3 + 10/(s+5)
接下来,可以根据单位阶跃函数的拉普拉斯变换形式:
L{u(t)} = 1/s
将上面的部分分式分解式子代入传递函数,得到单位阶跃函数的拉普拉斯变换:
G(s) = 3/(s+1) + 10/(s+2) + 5/(s+2)^2 + 2/(s+2)^3 + 10/(s+5) = 3L{u(t)} + 10e^(-2t)L{u(t)} + 5t e^(-2t)L{u(t)} + (5/2)t^2 e^(-2t)L{u(t)} + 10e^(-5t)L{u(t)}
根据拉普拉斯变换的线性性质,可以得到单位阶跃响应的拉普拉斯变换:
Y(s) = K/s + A + B/(s+2) + C/(s+2)^2 + D/(s+2)^3 + F/(s+5)
其中 K、A、B、C、D、F 是常数系数。
接下来,我们需要将 Y(s) 进行反演得到单位阶跃响应 y(t):
y(t) = L^{-1}{Y(s)}
根据拉普拉斯变换表格,可以得到反演公式:
L^{-1}{1/s} = u(t)
L^{-1}{e^(-at)} = u(t-a)
L^{-1}{1/(s+a)} = e^(-at)u(t)
根据上述公式,可以得到 y(t) 的表达式:
y(t) = K + A u(t) + B e^(-2t) u(t) + C t e^(-2t) u(t) + (1/2) D t^2 e^(-2t) u(t) + F e^(-5t) u(t)
此时,我们需要确定各分量系数的值。由于单位阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应,因此可以得到:
K = 3
A = -3
B = 10
C = -10
D = 5
F = 10
对于余弦项,可以将其表示为正弦项的形式:
H cos(ωt + β) = H cos(β) cos(ωt) - H sin(β) sin(ωt)
因此,可以得到:
M = 0
ω = 0
β = 0
最终,单位阶跃响应函数的表达式为:
y(t) = 3 - 3u(t) + 10e^(-2t)u(t) - 10te^(-2t)u(t) + (5/2)t^2 e^(-2t) u(t) + 10e^(-5t)u(t)
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