怎么证明A的伴随矩阵等于|A|的n-1次幂

设矩阵A为n阶矩阵，其伴随矩阵为adj(A)，则有：

adj(A) = cofactor(A)T

其中cofactor(A)为A的余子式矩阵，T为其转置矩阵。而余子式矩阵的定义是：对于矩阵A的第i行第j列元素，其余子式值为A去掉第i行第j列后所得的(n-1)阶矩阵的行列式。

因此，我们可以得到：

adj(A)A = cofactor(A)TA

由于cofactor(A)TA是一个n阶矩阵，而A的行列式为|A|，因此

|adj(A)A| = |cofactor(A)TA| = |cofactor(A)| × |A|^(n-1)

又因为adj(A)A是一个n阶矩阵，其行列式为|adj(A)A|，而A的伴随矩阵adj(A)的定义是adj(A)A = |A|I，其中I为n阶单位矩阵，因此有：

|adj(A)| × |A| = |adj(A)A| = |A|^(n-1) × |cofactor(A)|

即有

adj(A) = |A|^(n-1) × cofactor(A)

因此，A的伴随矩阵等于|A|的(n-1)次幂乘以其余子式矩阵。

相关问题

设 A 为 3 阶可逆矩阵，且|A|=2,则|-A*|=().

根据引用[1]和引用的信息，我们可以得出以下结论：
- 设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A^2 = A，且 A 的秩为 r。
- 行列式 det(2E - A) 的值等于 (-1)^(n-r) * 2^(n-r) * det(B)，其中 B 是 A 的标准型矩阵。
- 根据引用中的信息，标准型矩阵 B 可以表示为 P^(-1) * A * P，其中 P 是一个可逆矩阵，且 B 的形式为 [E_r 0; 0 0]，其中 E_r 是 r 阶单位矩阵。

根据题目中的信息，设 A 为 3 阶可逆矩阵，且 |A| = 2。我们可以得出以下结论：
-1) * A * P| = |P^(-1)| * |A| * |P| = |A| * |P^(-1)| * |P| = |P^(-1) * P| = |E| = 1。
- 因此，|A| = 2 = 1，这是一个矛盾的结论。

所以，题目中的条件是不成立的，无法求出 |-A*| 的值。

|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)B

这个式子是矩阵的谱范数的性质，其中A和B是n阶方阵，λ是一个实数。谱范数是矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。因此，|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|，其中|A|和|B|分别是矩阵A和B的行列式的绝对值。这个性质可以通过以下步骤证明：
1. 由于A和B都是n阶方阵，它们都有n个特征值。设λ1, λ2, ..., λn是A的特征值，μ1, μ2, ..., μn是B的特征值。
2. 对于任意向量x，有|(λA+(1-λ)B)x|≤|λA x|+|(1-λ)B x|，根据矩阵范数的定义，有|λA+(1-λ)B|≤λ|A|+(1-λ)|B|。
3. 另一方面，对于任意向量y，有|(λA+(1-λ)B)y|≥λ|A y|+(1-λ)|B y|，因此|λA+(1-λ)B|≥λ|A|+(1-λ)|B|。
4. 综上所述，|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|，证毕。