怎么证明A的伴随矩阵等于|A|的n-1次幂

设矩阵A为n阶矩阵，其伴随矩阵为adj(A)，则有：

adj(A) = cofactor(A)T

其中cofactor(A)为A的余子式矩阵，T为其转置矩阵。而余子式矩阵的定义是：对于矩阵A的第i行第j列元素，其余子式值为A去掉第i行第j列后所得的(n-1)阶矩阵的行列式。

因此，我们可以得到：

adj(A)A = cofactor(A)TA

由于cofactor(A)TA是一个n阶矩阵，而A的行列式为|A|，因此

|adj(A)A| = |cofactor(A)TA| = |cofactor(A)| × |A|^(n-1)

又因为adj(A)A是一个n阶矩阵，其行列式为|adj(A)A|，而A的伴随矩阵adj(A)的定义是adj(A)A = |A|I，其中I为n阶单位矩阵，因此有：

|adj(A)| × |A| = |adj(A)A| = |A|^(n-1) × |cofactor(A)|

即有

adj(A) = |A|^(n-1) × cofactor(A)

因此，A的伴随矩阵等于|A|的(n-1)次幂乘以其余子式矩阵。