差分进化贝叶斯MCMC抽样方法 matlab 示例

由于差分进化贝叶斯MCMC方法比较复杂，本回答只提供一个简单的matlab示例，仅供参考。

假设我们要估计一个二元logistic回归模型的参数，数据集为data.mat，其中包含了自变量x和因变量y。模型的参数为$\beta_1$和$\beta_2$，先验分布为正态分布，均值为0，方差为10。差分进化贝叶斯MCMC的核心代码如下：

% load data
load data.mat

% prior distribution
prior_mean = [0; 0];
prior_var = [10 0; 0 10];

% likelihood function
log_likelihood = @(beta) sum(y.*log(1./(1+exp(-(beta(1)+beta(2)*x)))) + (1-y).*log(1-1./(1+exp(-(beta(1)+beta(2)*x)))));

% posterior distribution
log_posterior = @(beta) log_likelihood(beta) + log(mvnpdf(beta, prior_mean, prior_var));

% MCMC parameters
n_iter = 10000;
burn_in = 5000;
n_chains = 3;
n_dim = 2;
step_size = 0.1;

% initialize chains
chains = zeros(n_iter, n_chains, n_dim);

for chain = 1:n_chains
    % initialize chain
    current_beta = [0; 0];
    current_log_posterior = log_posterior(current_beta);
    
    % run MCMC
    for iter = 1:n_iter
        % generate new proposal
        proposal_beta = current_beta + step_size*randn(n_dim, 1);
        proposal_log_posterior = log_posterior(proposal_beta);
        
        % compute acceptance probability
        accept_prob = exp(proposal_log_posterior - current_log_posterior);
        
        % accept or reject proposal
        if rand < accept_prob
            current_beta = proposal_beta;
            current_log_posterior = proposal_log_posterior;
        end
        
        % save current state
        chains(iter, chain, :) = current_beta;
    end
end

% discard burn-in period
chains = chains(burn_in+1:end, :, :);

% compute posterior mean and covariance
posterior_mean = squeeze(mean(chains, 1));
posterior_cov = cov(reshape(chains, [], n_dim));

% plot chains
figure
subplot(2, 1, 1)
plot(squeeze(chains(:, 1, :)))
title('Chain 1')
subplot(2, 1, 2)
plot(squeeze(chains(:, 2, :)))
title('Chain 2')

% plot posterior distribution
figure
scatter(chains(:, :, 1), chains(:, :, 2), '.')
hold on
contour(posterior_mean(1), posterior_mean(2), posterior_cov(1, 1), 'LineWidth', 2)
contour(posterior_mean(1), posterior_mean(2), posterior_cov(2, 2), 'LineWidth', 2)
xlabel('\beta_1')
ylabel('\beta_2')
title('Posterior Distribution')

上述代码中，我们首先加载数据集和先验分布，然后定义似然函数和后验分布函数。接着，我们设置MCMC的参数，包括迭代次数、burn-in期、链的数量、参数维度和步长大小。初始化MCMC链，并在每个链上运行MCMC。在每个迭代步骤中，我们生成一个新的提议，计算接受概率，接受或拒绝提议，并保存当前状态。最后，我们丢弃burn-in期，并计算后验均值和协方差矩阵。我们还绘制了每个链的轨迹和后验分布的散点图。

需要注意的是，本示例仅用于演示差分进化贝叶斯MCMC方法的基本思想，实际应用中需要更加细致地选择步长大小和迭代次数，并进行收敛诊断和后验分析等。