共有n种图案的印章,每种图案的出现概率相同。小a买了m张印章,求小a集齐n种印章的概率。
时间: 2023-04-24 21:02:26 浏览: 52
小A集齐n种印章的概率可以用概率论中的容斥原理来计算。首先,我们计算出小A至少集齐了其中任意k种印章的概率,然后用容斥原理将这些概率相加减去重叠的部分,即可得到小A集齐n种印章的概率。
假设小A至少集齐了其中任意k种印章的概率为P(k),则有:
P(k) = C(n, k) * (1/k)^k * ((n-k)/n)^(m-k)
其中,C(n, k)表示从n种图案中选出k种的组合数,(1/k)^k表示小A选择的k种图案出现的概率,((n-k)/n)^(m-k)表示小A剩余的(m-k)次选择中,不选中前k种图案的概率。
根据容斥原理,小A集齐n种印章的概率为:
P = Σ(-1)^k+1 * P(k) = Σ(-1)^k+1 * C(n, k) * (1/k)^k * ((n-k)/n)^(m-k)
其中,Σ表示对k从1到n求和,(-1)^k+1表示奇数次项取负,偶数次项取正。
这样,我们就可以利用上述公式计算小A集齐n种印章的概率。
相关问题
共有n种图案的印章,每种图案的出现概率相同。小a买了m张印章,求小a集齐n种印章的概率
假设小a已经集齐了k种印章,那么他还需要集齐n-k种印章。每次购买印章,他有1/n的概率获得一种新的印章,因此他购买m张印章,集齐n种印章的概率为:
P = C(n,k) * (1/n)^k * (1-1/n)^(m-k) * C(n-k,m-k)
其中,C(n,k)表示从n种印章中选k种的组合数,C(n-k,m-k)表示从剩下的n-k种印章中选m-k种的组合数。
因为k可以从到n取值,所以小a集齐n种印章的概率为:
P = ∑[k=,n] C(n,k) * (1/n)^k * (1-1/n)^(m-k) * C(n-k,m-k)
共有n种图案的印章,每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章,求小A集齐n种印章的概率。
假设每张印章独立出现,那么小A集齐n种印章的概率是:
P = C(n,0)*(n-1)^m + C(n,1)*(n-1)^(m-n)*n + C(n,2)*(n-1)^(m-2n)*n*(n-1)/2 + ... + C(n,n)*(n-1)^(m-n*n)/n!
其中C是组合数,这个公式的意思是,小A先从n种图案中选0种图案,剩下n-1种就是不中的情况。这种情况的概率是C(n,0)*(n-1)^m。然后小A选1种图案,其他都是不中的情况,概率是C(n,1)*(n-1)^(m-1)*n。类似的,小A选2种图案,其他都是不中的情况,概率是C(n,2)*(n-1)^(m-2)*n*(n-1)/2,依次类推,直到小A选n种图案。
但是这个公式的计算量太大,有指数级别的复杂度,即使n和m都很小,也会有很大的延迟。如果要快速计算小A集齐n种印章的概率,可以用蒙特卡洛方法。简单地说,就是用电脑模拟小A随机买印章的过程,然后多次模拟,统计小A集齐n种印章的比例。模拟次数越多,结果越准确。