l1范数为什么是一个凸函数
时间: 2024-04-02 08:31:46 浏览: 257
范数凹凸性1
l1范数是一个凸函数,因为它满足凸函数的定义。具体来说,凸函数有以下两个特性:
1. 对于任意的x1和x2,以及任意的t∈[0,1],有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)。
2. 函数的上确界(supremum)在定义域内存在。
对于l1范数,我们可以证明它满足上述两个特性:
1. 对于任意的x1和x2,以及任意的t∈[0,1],有:
||tx1+(1−t)x2||_1 = |t|||x1||_1 + (1-t)|||x2||_1
≤ |t|∑|x1_i| + (1-t)∑|x2_i|
= ∑|t x1_i + (1-t) x2_i|
= ||t x1 + (1-t) x2||_1
因此,l1范数满足凸函数的定义中的第一个特性,即它是一个凸函数。
2. 对于l1范数,它的上确界是有限的,因为它的定义域是有限的。因此,它满足凸函数的定义中的第二个特性。
综上所述,l1范数满足凸函数的定义,因此它是一个凸函数。
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