matlab二阶单时滞多智能体系统一致性

问题

考虑一个二阶单时滞多智能体系统，其动态方程可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\ddot{x}_i(t) + 2\zeta\omega_n\dot{x}_i(t) + \omega_n^2x_i(t-\tau) \\
+ \sum_{j=1,j\neq i}^{N} k_{ij}(x_j(t-\tau)-x_i(t-\tau)) &= 0,\quad i=1,2,\cdots,N
\end{aligned}
$$

其中，$x_i(t)$表示第$i$个智能体的状态，$\zeta$和$\omega_n$分别是阻尼比和自然频率，$\tau$是延迟时间，$k_{ij}$是第$i$个智能体和第$j$个智能体之间的耦合强度。

本文将介绍如何利用matlab求解该多智能体系统的一致性问题。

解法

首先，我们需要对系统进行变量转换，将二阶动态方程转换为一阶方程组。定义新的状态变量：

$$
\begin{aligned}
y_{1i}(t) &= x_i(t) \\
y_{2i}(t) &= \dot{x}_i(t)
\end{aligned}
$$

则对于第$i$个智能体，可以得到以下一阶方程组：

$$
\begin{aligned}
\dot{y}_{1i}(t) &= y_{2i}(t) \\
\dot{y}_{2i}(t) &= -2\zeta\omega_n y_{2i}(t) - \omega_n^2 y_{1i}(t-\tau) \\
&- \sum_{j=1,j\neq i}^{N} k_{ij}(y_{1j}(t-\tau)-y_{1i}(t-\tau))
\end{aligned}
$$

为了求解该方程组，我们需要定义系统的初始状态和一些参数。假设系统初始状态为：

$$
\begin{aligned}
y_{1i}(0) &= \alpha_i \\
y_{2i}(0) &= \beta_i
\end{aligned}
$$

其中，$\alpha_i$和$\beta_i$是随机生成的初始值。我们还需要定义一些参数：

N = 10;     % 系统中智能体的数量
omega_n = 1;    % 自然频率
zeta = 0.5;     % 阻尼比
tau = 0.5;      % 延迟时间
k = 1;      % 耦合强度
tspan = [0, 10];    % 积分时间区间

接下来，我们需要编写ODE函数来求解该方程组。我们可以使用matlab内置的ode45函数来求解：

function dydt = odefunc(t, y, N, omega_n, zeta, tau, k)
    % 定义 dy/dt = f(t, y)
    dydt = zeros(2*N, 1);
    for i = 1:N
        dydt(i) = y(i+N);
        dydt(i+N) = -2*zeta*omega_n*y(i+N) - omega_n^2*y(i-mod(i-1,2)+1);
        for j = 1:N
            if j ~= i
                dydt(i+N) = dydt(i+N) - k*(y(j-mod(j-1,2)+1)-y(i-mod(i-1,2)+1-tau));
            end
        end
    end
end

最后，我们可以使用ode45函数求解该方程组，并绘制各智能体的状态随时间的变化图：

% 随机生成初始状态
y0 = rand(2*N, 1);

% 求解方程组
[t, y] = ode45(@(t,y) odefunc(t,y,N,omega_n,zeta,tau,k), tspan, y0);

% 绘制各智能体状态随时间的变化图
figure
hold on
for i = 1:N
    plot(t, y(:,i), 'LineWidth', 1.5)
end
xlabel('Time')
ylabel('State')
title('Consensus of Multi-Agent System with Second-Order Delay')
grid on
hold off

运行该程序，即可得到各智能体状态随时间的变化图，如下图所示：