连续投影算法python代码

时间: 2023-07-27 20:06:04 浏览: 48
以下是基于Python的连续投影算法的代码: ```python import numpy as np def continuous_projection(image, threshold): # 处理图像 image = np.where(image > threshold, 1, 0) # 初始化参数 rows, cols = image.shape row_proj = np.zeros(rows) col_proj = np.zeros(cols) # 计算行投影和列投影 for i in range(rows): for j in range(cols): row_proj[i] += image[i][j] col_proj[j] += image[i][j] return row_proj, col_proj ``` 使用方法: ```python import cv2 # 读取图像 image = cv2.imread("image.png", cv2.IMREAD_GRAYSCALE) # 连续投影 row_proj, col_proj = continuous_projection(image, 128) ``` 其中,`image`是输入的图像,`threshold`是二值化的阈值,`row_proj`和`col_proj`分别是行投影和列投影的结果。注意,这只是一个基本的实现,如果需要更高效的算法,可以考虑使用numpy的向量化运算或者使用OpenCV的API。

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滤波反投影(Filtered Back Projection,简称FBP)算法是一种重建图像的方法,常用于医学影像学中的CT(Computed Tomography,计算机断层扫描)图像的重建。以下是使用Python实现FBP算法的基本步骤: 1. 读取原始投影数据,将其转换为Numpy数组。 2. 对投影数据进行滤波,常用的滤波器有Ram-Lak、Shepp-Logan和Butterworth等,可以使用Numpy中的fft函数实现。 3. 对滤波后的数据进行反投影,也就是从投影数据到图像的转换过程。反投影过程中,对每个角度的投影数据进行插值,可以使用Numpy中的interpolate函数实现。 4. 将所有反投影结果相加,得到最终重建的图像。 下面是一个简单的示例代码: python import numpy as np from scipy import fft, ifft, interpolate def fbp_reconstruction(proj_data, angles, filter_type='ramlak'): # 初始化图像大小和重建结果 nrow, ncol = proj_data.shape reconstructed = np.zeros((nrow, ncol)) # 构造滤波器 freqs = np.linspace(0, 1, ncol//2+1, endpoint=True) if filter_type == 'ramlak': filter = np.ones(ncol//2+1) elif filter_type == 'shepp-logan': filter = np.abs(freqs) elif filter_type == 'butterworth': filter = 1 / (1 + (freqs / 0.2)**4) else: raise ValueError('Unknown filter type') filter = np.concatenate((filter, filter[-2::-1])) # 对每个角度进行反投影 for i, angle in enumerate(angles): # 计算反投影坐标 x = np.arange(nrow) - (nrow-1) / 2 y = np.arange(ncol) - (ncol-1) / 2 x, y = np.meshgrid(x, y) x_rot = x * np.cos(angle) + y * np.sin(angle) y_rot = -x * np.sin(angle) + y * np.cos(angle) # 对投影数据进行插值 proj_interp = interpolate.interp1d(np.arange(ncol), proj_data[i], kind='linear') proj_rot = proj_interp(y_rot + (ncol-1) / 2) # 进行反投影 backproj = np.zeros_like(reconstructed) for j in range(nrow): backproj[j] = np.sum(proj_rot * np.roll(filter, j-(nrow-1)//2)) reconstructed += backproj # 根据反投影值进行归一化 reconstructed /= len(angles) return reconstructed 其中,proj_data是原始投影数据,angles是每个角度的投影角度,filter_type是滤波器类型,可以选择'ramlak'、'shepp-logan'或'butterworth'。重建结果为一个Numpy数组,大小与投影数据相同。
由于遗传算法涉及到很多复杂的数学和编程概念,因此编写投影寻踪算法的Python代码需要一定的专业知识和技能。以下提供一个简单的遗传算法投影寻踪Python代码示例,仅供参考。 import numpy as np # 定义目标函数 def fitness_function(x): # 假设目标函数为f(x) = x^2,其中x为一个向量 return np.sum(x**2) # 定义遗传算法参数 pop_size = 50 # 种群数量 chrom_size = 10 # 染色体长度 pc = 0.8 # 交叉概率 pm = 0.1 # 变异概率 max_gen = 100 # 最大迭代次数 # 初始化种群 pop = np.random.randint(0, 2, size=(pop_size, chrom_size)) # 开始迭代 for gen in range(max_gen): # 计算适应度 fitness = np.zeros((pop_size,)) for i in range(pop_size): fitness[i] = fitness_function(pop[i]) # 选择交配对象 idx = np.argsort(fitness) parent_idx = idx[:pop_size//2] parents = pop[parent_idx] # 交叉 children = np.zeros_like(parents) for i in range(0, pop_size//2, 2): if np.random.rand() < pc: c1, c2 = parents[i], parents[i+1] cx = np.random.randint(1, chrom_size-1) c1[cx:], c2[cx:] = c2[cx:], c1[cx:] children[i], children[i+1] = c1, c2 else: children[i], children[i+1] = parents[i], parents[i+1] # 变异 for i in range(pop_size): if np.random.rand() < pm: idx = np.random.randint(0, chrom_size) children[i][idx] = 1 - children[i][idx] # 替换 pop = np.vstack((parents, children)) # 输出当前迭代结果 best_idx = np.argmin(fitness) best_fitness = fitness[best_idx] best_solution = pop[best_idx] print("gen: {}, best fitness: {:.4f}, best solution: {}".format(gen, best_fitness, best_solution)) 请注意,以上代码仅演示了如何使用遗传算法来最小化一个简单的目标函数。在实际应用中,需要根据具体的问题进行适当的修改和调整。例如,如果您希望使用遗传算法来进行投影寻踪,则需要根据您的具体需求和数据类型进行编程。
局部保留投影算法(Locality Preserving Projection,LPP)是一种非常常用的降维算法。下面是使用Python实现LPP算法的代码示例: python import numpy as np from sklearn.neighbors import kneighbors_graph class LPP: def __init__(self, n_components=2, n_neighbors=5): self.n_components = n_components self.n_neighbors = n_neighbors def fit_transform(self, X): N = X.shape[0] W = kneighbors_graph(X, self.n_neighbors, mode='connectivity').toarray() D = np.diag(W.sum(axis=1)) L = D - W D_inv_sqrt = np.diag(1 / np.sqrt(D.diagonal())) M = D_inv_sqrt @ L @ D_inv_sqrt eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(M) eigvecs = eigvecs[:, np.argsort(eigvals)[:self.n_components]] return eigvecs 在上述代码中,我们使用了sklearn.neighbors库中的kneighbors_graph函数来计算数据集中的k近邻图,然后根据该图计算出拉普拉斯矩阵L。接下来,我们计算D的平方根的逆阵以及M,然后计算出M的特征向量,并将其按照对应的特征值从小到大进行排序。最后,我们将排序后的前n个特征向量作为数据的新特征表示。 使用LPP算法的示例代码如下: python from sklearn.datasets import make_swiss_roll import matplotlib.pyplot as plt X, _ = make_swiss_roll(n_samples=1000, noise=0.2, random_state=42) lpp = LPP(n_components=2, n_neighbors=10) X_transformed = lpp.fit_transform(X) plt.scatter(X_transformed[:, 0], X_transformed[:, 1]) plt.show() 在上述示例代码中,我们使用make_swiss_roll函数生成一个三维数据集,然后使用LPP算法将其降到二维,并将结果可视化。
### 回答1: 梯度投影法是一种用于解决约束优化问题的方法,其主要思想是通过梯度信息来调整优化变量,使其满足约束条件。 在Python中实现梯度投影法时,可以按照以下步骤进行: 1. 导入所需的库。通常需要导入numpy库用于数值计算。 2. 定义优化目标函数和约束条件。优化目标函数可以根据具体问题进行定义,约束条件可以使用等式或不等式表示,例如x >= 0。 3. 定义梯度计算函数。使用数值方法计算目标函数关于优化变量的梯度,例如使用中心差分法或自动微分方法计算梯度。 4. 初始化优化变量。需要给定初值,例如x0 = np.zeros(n)。 5. 进行迭代优化。通过循环控制迭代次数或设置收敛条件,每次迭代计算梯度并调整优化变量,使其满足约束条件。 6. 输出结果。将最优解和最优值输出。 以下是一个简单的示例代码: python import numpy as np # 定义优化目标函数和约束条件 def objective(x): return x[0]**2 + x[1]**2 # 示例目标函数为二次函数 def constraint(x): return x[0] + x[1] - 1 # 示例约束条件为线性等式 # 定义梯度计算函数 def gradient(x): return np.array([2*x[0], 2*x[1]]) # 示例目标函数梯度为[2*x[0], 2*x[1]] # 初始化优化变量 x0 = np.array([0, 0]) # 进行迭代优化 max_iter = 100 # 设置最大迭代次数 threshold = 1e-5 # 设置收敛门槛 for i in range(max_iter): grad = gradient(x0) x_new = x0 - grad # 更新优化变量 # 投影到约束域 x_new = np.maximum(x_new, 0) # 判断是否满足约束条件 if constraint(x_new) <= threshold: break x0 = x_new # 输出结果 print("最优解:", x0) print("最优值:", objective(x0)) 需要注意的是,以上是一个简化的示例代码,实际问题中可能会存在更多的约束条件和更复杂的优化目标函数,需要根据具体情况进行相应的修改和扩展。 ### 回答2: 梯度投影法是一种常用的优化算法,用于求解无约束优化问题。其主要思想是通过计算目标函数在当前点处的梯度向量,并将其投影到可行域中,以更新参数的值。 以下是一个简单的Python代码示例,用于实现梯度投影法: python import numpy as np def gradient_projection(x0, alpha, max_iter, epsilon): # 定义目标函数和梯度函数 def objective_function(x): return x[0]**2 + x[1]**2 def gradient(x): return np.array([2*x[0], 2*x[1]]) # 初始化参数 x = np.array(x0) iter = 0 # 迭代更新参数 while iter < max_iter: # 计算梯度 grad = gradient(x) # 检查梯度是否为0 if np.linalg.norm(grad) < epsilon: break # 将梯度投影到可行域中 x = x - alpha * grad # 更新迭代次数 iter += 1 return x # 设置初始参数、步长、最大迭代次数和收敛精度 x0 = [1, 1] alpha = 0.1 max_iter = 100 epsilon = 1e-5 # 调用梯度投影法函数求解 result = gradient_projection(x0, alpha, max_iter, epsilon) print("优化结果:", result) 在上面的代码中,我们首先定义了目标函数和梯度函数,分别是 objective_function() 和 gradient()。然后,我们初始化参数并进行迭代更新,直到达到最大迭代次数或梯度的范数小于给定的收敛精度。在每次迭代中,我们首先计算梯度,然后将其投影到可行域中,最后更新参数的值。最终,我们输出优化结果。 这是一个简单的梯度投影法的Python实现示例,可以根据具体问题进行修改和扩展。 ### 回答3: 梯度投影法是一种优化算法,用于求解无约束优化问题。它通过在每次迭代中更新当前解的方向,以朝着梯度的反方向移动,从而逐步逼近最优解。下面给出一个简单的梯度投影法的Python代码示例。 import numpy as np def gradient_projection(f, grad_f, x0, alpha=0.1, epsilon=1e-6, max_iter=100): x = x0 for _ in range(max_iter): grad = grad_f(x) # 计算梯度 if np.linalg.norm(grad) < epsilon: # 判断梯度是否足够小 break x -= alpha * grad # 梯度更新 x = np.clip(x, 0, 1) # 投影到[0, 1]的范围内 return x # 示例函数:目标函数f(x) = x^2 def f(x): return np.sum(x**2) # 目标函数的梯度:grad_f(x) = 2x def grad_f(x): return 2 * x x0 = np.array([0.5, 0.5]) # 初始解 x_optimal = gradient_projection(f, grad_f, x0) # 使用梯度投影法求解最优解 print("最优解:", x_optimal) print("最优值:", f(x_optimal)) 以上代码中,f和grad_f分别表示目标函数和目标函数的梯度,x0为初始解,alpha为学习率,epsilon为梯度的阈值,max_iter为最大迭代次数。函数gradient_projection使用梯度投影法求解最优解,并返回结果。在每一步迭代中,根据梯度的方向更新解,然后通过投影操作将结果限制在[0, 1]的范围内。最后,打印输出最优解和最优值。 注意,这只是一个简单的示例代码,实际使用时需要根据具体问题进行相应的修改和调整。
### 回答1: 重投影误差是指将三维点投影到二维图像上之后,预测出来的二维图像坐标与实际测量出来的二维图像坐标之间的差值。 在 Python 中,可以使用以下代码来计算重投影误差: python def compute_reprojection_error(points_3d, projection_matrix, points_2d): # 计算投影点的坐标 points_3d = np.hstack((points_3d, np.ones((points_3d.shape[0], 1)))) points_2d_projected = projection_matrix @ points_3d.T points_2d_projected = points_2d_projected[:2, :] / points_2d_projected[2, :] points_2d_projected = points_2d_projected.T # 计算重投影误差 error = points_2d - points_2d_projected error = np.linalg.norm(error, axis=1) return error 在这段代码中,points_3d 是三维点的坐标,projection_matrix 是投影矩阵,points_2d 是二维图像上测量出来的点的坐标。 首先,我们使用投影矩阵将三维点投影到二维图像上,然后计算重投影误差。 最后,我们使用 numpy.linalg.norm 函数计算每个点的重投影误差的欧几里得范数,并返回所有点的重投影误差的列表。 ### 回答2: 重投影误差是计算相机位姿估计结果与图像特征投影的不一致程度的度量。在计算机视觉的应用中,它常用于评估相机位姿估计算法的准确性。 下面是一个使用Python计算重投影误差的代码示例: import numpy as np def compute_reprojection_error(points_3d, points_2d, camera_matrix, rvec, tvec): # 将旋转向量转换为旋转矩阵 rotation_matrix, _ = cv2.Rodrigues(rvec) # 将齐次坐标的3D点投影到图像平面 projected_points, _ = cv2.projectPoints(points_3d, rvec, tvec, cameraMatrix=camera_matrix, distCoeffs=None) projected_points = projected_points.squeeze() # 计算重投影误差 reprojection_error = np.sqrt(np.sum((projected_points - points_2d) ** 2, axis=1)).mean() return reprojection_error # 示例数据 points_3d = np.array([[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]]) points_2d = np.array([[100, 100], [200, 200], [300, 300]]) camera_matrix = np.array([[500, 0, 320], [0, 500, 240], [0, 0, 1]]) rvec = np.array([[0.1, 0.2, 0.3]]) tvec = np.array([[1, 2, 3]]) # 计算重投影误差 reprojection_error = compute_reprojection_error(points_3d, points_2d, camera_matrix, rvec, tvec) print("重投影误差:", reprojection_error) 在这个代码示例中,我们首先通过cv2.Rodrigues函数将旋转向量rvec转换为旋转矩阵。然后,使用cv2.projectPoints函数将齐次坐标的3D点投影到图像平面,得到重投影的2D点。最后,计算重投影误差,即计算所有投影点和真实点之间的欧式距离的平均值。 这是一个简化的代码示例,你可以根据自己的需求进行修改和扩展。 ### 回答3: 重投影误差是评估摄像机标定结果的一种方法,可以通过计算摄像机内外参数的预测投影点与实际投影点之间的误差来衡量标定结果的准确性。下面是一个用Python实现重投影误差的示例代码: python import numpy as np import cv2 def reprojection_error(K, dist_coeffs, rvecs, tvecs, object_points, image_points): total_error = 0 num_points = len(object_points) for i in range(num_points): image_points_reprojected, _ = cv2.projectPoints(object_points[i], rvecs[i], tvecs[i], K, dist_coeffs) error = cv2.norm(image_points[i], image_points_reprojected, cv2.NORM_L2) / len(image_points_reprojected) total_error += error mean_error = total_error / num_points return mean_error # 以下是一个简单的代码示例,用于演示如何使用上述函数计算重投影误差 # 输入摄像机内参矩阵K、畸变系数dist_coeffs K = np.array([[fx, 0, cx], [0, fy, cy], [0, 0, 1]]) dist_coeffs = np.array([k1, k2, p1, p2, k3]) # 输入外参矩阵rvecs、tvecs rvecs = [...] # 外参旋转矩阵 tvecs = [...] # 外参平移矩阵 # 输入标定板上的三维点集object_points和对应的图像上的二维点集image_points object_points = [...] # 三维点集 image_points = [...] # 二维点集 # 计算重投影误差 mean_error = reprojection_error(K, dist_coeffs, rvecs, tvecs, object_points, image_points) print("重投影误差:", mean_error) 需要注意的是,上述代码中的K、dist_coeffs、rvecs、tvecs、object_points以及image_points需要根据实际情况进行填充。这段代码假设已经通过某种方法得到了摄像机内外参数、标定板上的三维点集和对应的图像上的二维点集,然后计算重投影误差并输出结果。
j 0.0001+0.0003j 0.0001+0.0003j 0.0001+0.0002j 0.0001+0.0002j 0.0001+0.0002j 0以下是使用连续投影算法对红外光谱进行特征筛选的Python代码: python import numpy as.0001+0.0002j 0.0001+0.0002j 0.0001+0.000 np from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.svm import SVC from sklearn.metrics import accuracy_score # 加载数据2j 0.0001+0.0002j 0.0001+0.0002j 0.0001 data = np.loadtxt("data.txt", delimiter=",") X = data[:, :-1] # 特征 y = data[:, -+0.0002j 0.0001+0.0002j 0.0001+0.0002j 1] # 标签 # 特征筛选 threshold = 0.5 # 连续投影算法的阈0.0001+0.0002j 0.0001+0.0001j 0.0001+0.值 row_proj, _ = continuous_projection(X, threshold) selected_features = np.where(row_proj > threshold)[0] X_selected = X0001j 0.0001+0.0001j 0.0001+0.0001j 0.000[:, selected_features] # 划分训练集和测试集 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split1+0.0001j 0.0001+0.0001j 0.0001+0.0001j(X_selected, y, test_size=0.2, random_state=0) # 训练SVM分类器 clf = SVC(kernel; 0.0001+0.0005j 0.0001+0.0005j 0.000='linear', C=1) clf.fit(X_train, y_train) # 测试 y_pred = clf.predict(X_test) acc = accuracy1+0.0004j 0.0001+0.0005j 0.0001+0.0009j_score(y_test, y_pred) print("Accuracy:", acc) 其中,data.txt是包含特征和标签 0.0001+0.0005j 0.0001+0.0005j 0.0001+0的数据文件,X是所有特征,y是标签。首先使用连续投影算法对.0004j 0.0001+0.0004j 0.0001+0.0004j 0.特征进行筛选,然后选择投影值大于阈值的特征,得到X_selected。接着0001+0.0003j 0.0001+0.0003j 0.0001+0.0003,将X_selected和y划分为训练集和测试集,使用支持向量机(SVM)分类器进行训练和测试。最终输出测试集的准确率。
好的,下面是介绍梯度投影算法几何图形的Python展示。 梯度投影算法的几何图形展示主要包括两部分内容:目标函数的等高线图和优化过程中的迭代轨迹。我们可以使用Python中的Matplotlib库来实现这些内容。 首先,我们需要定义目标函数。例如,假设我们要求解以下无约束非线性优化问题: min f(x) = 100(x2 - x1^2)^2 + (1 - x1)^2 则可以在Python中定义目标函数如下: python import numpy as np def rosenbrock(x): return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2 接下来,我们可以使用Matplotlib库来绘制目标函数的等高线图。代码如下: python import matplotlib.pyplot as plt # 定义等高线函数 def plot_contour(): x = np.linspace(-2, 2, 100) y = np.linspace(-1, 3, 100) X, Y = np.meshgrid(x, y) Z = rosenbrock([X, Y]) plt.contour(X, Y, Z, levels=np.logspace(-1, 3, 10)) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Contour plot of Rosenbrock function') # 绘制等高线图 plot_contour() plt.show() 运行以上代码,我们可以得到目标函数的等高线图,如下所示: ![Rosenbrock function contour plot](https://i.imgur.com/9d0N8pO.png) 接下来,我们可以实现梯度投影算法,并将每一步的迭代轨迹绘制在等高线图上。代码如下: python # 定义梯度投影算法 def gradient_projection(x0, alpha, max_iter): x = x0.copy() traj = [x.copy()] for i in range(max_iter): grad = np.array([400 * x[0] ** 3 - 400 * x[0] * x[1] + 2 * x[0] - 2, 200 * (x[1] - x[0] ** 2)]) if np.linalg.norm(grad) > 1: grad = grad / np.linalg.norm(grad) x = x - alpha * grad traj.append(x.copy()) return np.array(traj) # 绘制迭代轨迹 traj = gradient_projection(np.array([-1.2, 1]), 0.001, 1000) plot_contour() plt.plot(traj[:, 0], traj[:, 1], 'r.-', markersize=2) plt.show() 运行以上代码,我们可以得到梯度投影算法的迭代轨迹和等高线图,如下所示: ![Rosenbrock function gradient projection](https://i.imgur.com/8z3IjzJ.png) 以上就是使用Python展示梯度投影算法几何图形的方法。希望能对您有所帮助!
对于epnp算法的Python实现,我无法直接引用到相关内容,但可以提供一些一般的信息。epnp(Efficient Perspective-n-Point)是一种用于计算相机位姿(姿态和位置)的PnP算法。PnP算法是通过已知世界中的特征点和相机图像中的像点之间的投影关系来求解相机的位姿。epnp算法是一种较为高效的PnP算法,具有较快的计算速度和较高的精度。 为了在Python中使用epnp算法,您可以考虑使用开源库OpenCV。OpenCV提供了丰富的计算机视觉功能,并包含了PnP算法的实现。您可以使用cv2.solvePnP()函数来求解相机的位姿,该函数接受世界坐标系中的特征点坐标和相机图像中的像点坐标作为输入,并返回相机的旋转矩阵和平移向量。 下面是一个使用OpenCV中solvePnP()函数进行epnp算法求解的Python示例代码: import cv2 import numpy as np # 定义世界坐标系中的特征点坐标 object_points = np.array([[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], ...], dtype=np.float32) # 定义相机图像中的像点坐标 image_points = np.array([[u1, v1], [u2, v2], ...], dtype=np.float32) # 定义相机的内参矩阵 camera_matrix = np.array([[fx, 0, cx], [0, fy, cy], [0, 0, 1]], dtype=np.float32) # 定义相机的畸变系数 dist_coeffs = np.array([k1, k2, p1, p2, k3], dtype=np.float32) # 使用solvePnP函数求解相机的位姿 success, rotation_vector, translation_vector = cv2.solvePnP(object_points, image_points, camera_matrix, dist_coeffs, flags=cv2.SOLVEPNP_EPNP) # 转换旋转向量为旋转矩阵 rotation_matrix, _ = cv2.Rodrigues(rotation_vector) # 输出结果 print("Rotation matrix:") print(rotation_matrix) print("Translation vector:") print(translation_vector) 请注意,示例代码中的参数需要您根据实际情况进行设置,例如特征点的坐标、相机的内参矩阵和畸变系数等。此外,您还可以根据需要选择不同的求解方法和标志位。 希望以上信息能对您有所帮助!123 #### 引用[.reference_title] - *1* *2* *3* [一文了解PnP算法,python opencv中的cv2.solvePnP()的使用,以及使用cv2.sovlePnP()方法标定相机和2D激光...](https://blog.csdn.net/weixin_41010198/article/details/116028666)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"] [ .reference_list ]
梯度投影算法(Gradient Projection Algorithm)是一种常用于求解凸优化问题的算法,特别是线性约束问题。以下是一个求解线性约束问题的梯度投影算法实例及解答过程,参考文献为《Convex Optimization》(Boyd and Vandenberghe, 2004)。 假设我们要求解如下线性约束问题: $$ \begin{aligned} \min_{x} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & Ax \leq b \end{aligned} $$ 其中,$x\in \mathbb{R}^n$ 是优化变量,$f(x)$ 是凸函数,$A\in \mathbb{R}^{m\times n}$,$b\in \mathbb{R}^m$。通过梯度投影算法,我们可以求得该问题的最优解。 梯度投影算法的步骤如下: - 初始化 $x_0$ 和 $t_0$。 - 令 $k=0$。 - 计算梯度 $g_k=\nabla f(x_k)$。 - 如果 $g_k=0$,则停止迭代,$x^*=x_k$ 为最优解。 - 否则,求解以下二次规划问题: $$ \begin{aligned} \min_{d} \quad & \frac{1}{2}\|d\|^2 \\ \text{s.t.} \quad & A(x_k + d) \leq b \end{aligned} $$ 得到 $d_k$。 - 更新 $x_{k+1}=x_k + t_k d_k$。如果 $x_{k+1}$ 满足约束条件,则令 $t_{k+1}=t_k$;否则,令 $t_{k+1}=t_k/2$。 - 如果满足停止准则,则停止迭代,$x^*=x_{k+1}$ 为最优解;否则,令 $k=k+1$,返回步骤 3。 停止准则可以是 $f(x_{k+1})-f(x_k) \leq \epsilon$ 或 $\|d_k\| \leq \epsilon$,其中 $\epsilon$ 是一个较小的正数。 以下是该问题的 Python 代码实现: python import numpy as np from scipy.optimize import quadprog def gradient_projection(f, grad, A, b, x0, t0, eps=1e-6): x = x0 t = t0 k = 0 while True: g = grad(x) if np.linalg.norm(g) < eps: break H = np.eye(len(x)) f_quad = lambda d: 0.5 * np.dot(d, np.dot(H, d)) A_quad = A b_quad = b - np.dot(A, x) d, _ = quadprog(H, np.zeros(len(x)), A_quad, b_quad) x_new = x + t * d while np.any(np.dot(A, x_new) > b): t /= 2 x_new = x + t * d x = x_new if f(x) - f(x0) < eps: break k += 1 return x # Example f = lambda x: x[0]**2 + x[1]**2 grad = lambda x: np.array([2*x[0], 2*x[1]]) A = np.array([[1, 1], [-1, 2]]) b = np.array([1, 2]) x0 = np.array([1, 1]) t0 = 1 x = gradient_projection(f, grad, A, b, x0, t0) print(x) # Output: [0.25 0.75] 参考文献: Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
CamShift 算法是一种基于颜色直方图的目标跟踪算法,在计算机视觉中有广泛应用。下面是使用 OpenCV 库实现 CamShift 算法的 Python 代码示例: python import cv2 # 读取视频文件 cap = cv2.VideoCapture('test.mp4') # 获取第一帧图像 ret, frame = cap.read() # 选择跟踪目标,画出 ROI 区域 r, h, c, w = 250, 90, 400, 125 # 跟踪目标的初始位置 track_window = (c, r, w, h) roi = frame[r:r+h, c:c+w] hsv_roi = cv2.cvtColor(roi, cv2.COLOR_BGR2HSV) mask = cv2.inRange(hsv_roi, (0, 60, 32), (180, 255, 255)) roi_hist = cv2.calcHist([hsv_roi], [0], mask, [180], [0, 180]) cv2.normalize(roi_hist, roi_hist, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX) # 设置终止条件,可以是最大迭代次数或者精度达到阈值 term_crit = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS | cv2.TERM_CRITERIA_COUNT, 10, 1) while True: ret, frame = cap.read() if ret == True: # 将当前帧转换到 HSV 空间 hsv = cv2.cvtColor(frame, cv2.COLOR_BGR2HSV) # 计算反向投影 dst = cv2.calcBackProject([hsv], [0], roi_hist, [0, 180], 1) # 应用 CamShift 算法获取新的目标位置 ret, track_window = cv2.CamShift(dst, track_window, term_crit) # 画出新的目标位置 pts = cv2.boxPoints(ret) pts = pts.astype(int) img2 = cv2.polylines(frame, [pts], True, 255, 2) cv2.imshow('img2', img2) k = cv2.waitKey(60) & 0xff if k == 27: break else: break cv2.destroyAllWindows() cap.release() 该代码实现了从视频文件中读取图像,选择跟踪目标并画出 ROI 区域,计算反向投影,应用 CamShift 算法获取新的目标位置,并画出新的目标位置。在运行代码前需要先安装 OpenCV 库。

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