离散数学 握手定理是什么

"握手定理"也被称为"手拉手定理"，是离散数学中的一条基本定理。它是用于计算完全图中顶点数和边数关系的定理。在一个完全图中，每个顶点都与其他顶点相连，因此每个顶点都有 n-1 条边与其相连，其中 n 表示完全图中顶点的个数。因此，一个完全图中边的数量等于所有顶点的度数和的一半，即：

边数 = (n x (n-1))/2

其中，n 表示完全图中顶点的个数。这就是握手定理的表述形式。

相关问题

离散数学握手定理求无向树边数

握手定理是离散数学中图论的一个经典结果，它用于估算简单无向图中边的数量。握手定理又称为“握手问题”，基于一个直观的观察：在一个无向图中，每条边连接两个顶点，所以每当有一对顶点通过一条边相互接触时，就相当于一次“握手”。每个顶点至多参与一对这样的握手，除了孤立的顶点（没有边相连的顶点），因为它不会形成额外的握手。

设\( n \)是无向树中的顶点数，由于每个非孤立顶点恰好与其他顶点有一条边相连，所以总的边数\( e \)等于所有顶点度数之和的一半减去顶点总数。公式表述为：

\[ e = \frac{1}{2} \sum_{\text{每个顶点}} \text{顶点度数} - n \]

其中，“顶点度数”表示该顶点拥有的边的数量。对于一棵有\( n \)个顶点的树来说，因为树是连通的且没有环，所以它的边数正好是\( n - 1 \)，这是因为从任意一个顶点出发，能到达其余所有顶点，共经过\( n - 1 \)条边。

举个例子，如果有6个顶点的无向树，计算边数就是将每个顶点的度数加起来除以2，然后减去6。如果其中有4个顶点度数是2，1个顶点度数是3，剩下1个顶点是叶子节点（度数为0），则总边数为 \( (2*4 + 3*1) / 2 - 6 = 1 \)。

离散数学：证明u到v中若存在链，则u到v一定存在路，要求用到握手定理

假设u到v存在一条链，设该链为u, x1, x2, ..., xn, v。由于存在这条链，那么u和x1之间必然存在一条路径，x1和x2之间必然存在一条路径，以此类推，xn和v之间也必然存在一条路径。因此，我们可以将这些路径拼接起来，得到从u到v的一条路。

现在我们需要证明的是，从u到v的这条路是存在的。为此，我们可以利用握手定理，即对于任意一个图G，其所有顶点的度数之和等于边数的两倍。假设G是由u到v的链和其他若干条边组成的图，设链的长度为n，则u和x1之间存在一条边，x1和x2之间存在一条边，以此类推，xn和v之间也存在一条边。因此，u和v之间一共存在n+1条边。

我们知道，链上的每个顶点的度数都为2，因此链中一共有2n个度数。除了链上的顶点之外，G中还有其他顶点，它们的度数之和为S。根据握手定理，我们有：

2n + S = 2(n+1)

化简可得：

S = 2

这意味着G中除了u和v之间的链以外，只有两个顶点的度数不为0，即这两个顶点之间存在一条边。因此，从u到v的一条路是存在的。

综上所述，u到v中若存在链，则u到v一定存在路，证毕。