豪斯霍尔德(Householder)变换matlab代码

豪斯霍尔德变换（Householder transformation）是一种线性代数中的变换，可以将一个向量转换为一个第一项为正值的向量。Matlab中可以使用以下代码实现豪斯霍尔德变换：

function [H, v] = householder(A)
% 输入：矩阵A
% 输出：H为豪斯霍尔德变换矩阵，v为向量系数
[m, n] = size(A);
v = zeros(m, 1);
for k = 1:n
    x = A(k:m, k);
    v(k:m) = sign(x(1))*norm(x)*eye(m-k+1, 1) + x;
    v(k) = v(k) + sign(x(1))*norm(x);
    v = v/norm(v);
    A(k:m, k:n) = A(k:m, k:n) - 2*v(k:m)*(v(k:m)'*A(k:m, k:n));
end
H = eye(m) - 2*v*v';
end

其中，输入参数为矩阵A，输出参数为豪斯霍尔德变换矩阵H和向量系数v。代码中使用循环实现了对于每一列的豪斯霍尔德变换，并使用公式 $H = I - 2vv^T$ 计算变换矩阵H。

相关问题

用matlab实现 1 基于施密特正交化方法的QR分解； 2 找例子说明它在某些情况下效果不好； 3 基于吉文斯变换或豪斯霍尔德变换的QR分解（二选一），并检验对2中的例子是否有好的效果

1. 在MATLAB中实现基于施密特正交化方法的QR分解，可以通过Gram-Schmidt过程来完成。以下是一个简单的例子：

function [Q, R] = gram_schmidt(A)
    [m, n] = size(A);
    Q = zeros(m, n);
    R = zeros(n, n);
    for j = 1:n
        v = A(:, j);
        for i = 1:j-1
            v = v - (Q(:, i)' * A(:, j)) * Q(:, i);
        end
        Q(:, j) = v / norm(v);
        for i = j:n
            R(i, j) = Q(:, i)' * A(:, j);
        end
    end
end

这个函数`gram_schmidt`接受一个矩阵`A`作为输入，并输出正交矩阵`Q`和上三角矩阵`R`。需要注意的是，MATLAB内置函数`qr`也能执行QR分解，但在学习算法细节时，手写Gram-Schmidt过程是一个很好的练习。

2. 施密特正交化方法在某些情况下可能会遇到数值稳定性问题。特别是当输入矩阵A的列向量之间高度相关或者接近线性相关时，Gram-Schmidt过程可能会放大舍入误差，导致结果矩阵Q失去正交性，R的对角线元素可能不再是准确的。例如，如果A的一个列向量是其它列向量的线性组合，那么Gram-Schmidt过程可能会产生一个非正交的Q矩阵。

3. 基于吉文斯变换（Householder Transform）的QR分解通常在数值稳定性方面比Gram-Schmidt过程更好。下面是一个简单的MATLAB实现：

function [Q, R] = householder_qr(A)
    [m, n] = size(A);
    H = eye(m);
    R = A;
    for j = 1:n
        x = R(j:m, j);
        v = x;
        v(1) = v(1) + sign(v(1)) * norm(x);
        v = v / norm(v);
        H_j = eye(m);
        H_j(j:m, j:m) = eye(m) - 2 * v * v';
        R = H_j * R;
        if j < m
            H = H * H_j;
        end
    end
    Q = H';
end

这个函数`householder_qr`同样接受一个矩阵`A`作为输入，并输出正交矩阵`Q`和上三角矩阵`R`。为了检验这种方法是否能改善效果不好的情况，可以选择一个接近奇异或者列向量高度相关的矩阵作为例子，然后使用`householder_qr`函数进行QR分解，并检查结果的数值稳定性。