SVD算法的实现 不使用matlab自带函数

SVD（奇异值分解）算法是一种常见的矩阵分解方法，可以用于数据降维、矩阵压缩、图像处理等领域。下面是一种基于Jacobi迭代的SVD算法实现，可以在不使用Matlab自带函数的情况下进行矩阵分解：

import numpy as np

def svd(A, epsilon=1e-10):
    """
    基于Jacobi迭代的SVD算法实现
    :param A: 待分解的矩阵
    :param epsilon: 迭代停止条件
    :return: U, S, Vt
    """
    m, n = A.shape
    U, S, Vt = np.zeros((m, m)), np.zeros((m, n)), np.zeros((n, n))
    U[:, 0] = A[:, 0] / np.linalg.norm(A[:, 0])
    for i in range(1, m):
        Ui = A[:, i]
        for j in range(i):
            Ui -= np.dot(U[:, j], A[:, i]) * U[:, j]
        U[:, i] = Ui / np.linalg.norm(Ui)
    S[0, 0] = np.dot(U[:, 0], A[:, 0])
    for i in range(1, n):
        Si = A[:, i]
        for j in range(i):
            Si -= np.dot(S[j, j] * U[:, j], A[:, i])
        S[i, i] = np.linalg.norm(Si)
        Vt[i, :] = Si / S[i, i]
    while True:
        delta = 0
        for i in range(n - 1):
            for j in range(i + 1, n):
                Aij = np.dot(U[:, i], A[:, j])
                Aji = np.dot(U[:, j], A[:, i])
                if abs(Aij - Aji) > epsilon:
                    delta += 2 * (Aij ** 2 + Aji ** 2)
                    theta = 0.5 * np.arctan2(2 * (Aij - Aji), Aij + Aji)
                    c, s = np.cos(theta), np.sin(theta)
                    U[:, i], U[:, j] = U[:, i] * c - U[:, j] * s, U[:, i] * s + U[:, j] * c
                    Si, Sj = S[i, i], S[j, j]
                    S[i, i], S[j, j] = c * Si - s * Sj, s * Si + c * Sj
                    Vt[i, :], Vt[j, :] = Vt[i, :] * c - Vt[j, :] * s, Vt[i, :] * s + Vt[j, :] * c
        if delta < epsilon:
            break
    return U, S, Vt.T

代码中使用了numpy库中的一些函数，如np.linalg.norm()用于计算向量的2范数，np.dot()用于计算向量的内积，np.arctan2()用于计算反正切值。算法的核心部分是Jacobi迭代，通过不断旋转矩阵的某两行或某两列，使得矩阵的对角线元素逐步逼近矩阵的奇异值，最终得到矩阵的奇异值分解结果。