基于正态分布的多元离群点的检测方法公式解析

基于正态分布的多元离群点检测方法涉及到多元正态分布、马氏距离和卡方分布等数学概念，其公式解析如下：

假设样本数据 ${\bf X}=\{{\bf x}_1,{\bf x}_2,\cdots,{\bf x}_n\}$，其中 ${\bf x}_i \in \mathbb{R}^d$ 表示第 $i$ 个数据点。样本数据服从多元正态分布 $N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$，其中 $\boldsymbol{\mu} \in \mathbb{R}^d$ 表示均值向量，$\boldsymbol{\Sigma} \in \mathbb{R}^{d \times d}$ 表示协方差矩阵。

多元正态分布的概率密度函数为：

$$
f({\bf x};\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}({\bf x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}({\bf x}-\boldsymbol{\mu})\right)
$$

其中，$|\boldsymbol{\Sigma}|$ 表示协方差矩阵的行列式，$\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 表示协方差矩阵的逆矩阵。

对于一个数据点 ${\bf x}$，其到均值向量的马氏距离的平方为：

$$
D^2({\bf x};\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})=({\bf x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}({\bf x}-\boldsymbol{\mu})
$$

假设样本数据服从多元正态分布，那么在正常情况下，马氏距离的平方应该服从卡方分布：

$$
D^2({\bf x};\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) \sim \chi^2_d
$$

其中，$d$ 表示数据的维度。

对于给定的显著性水平 $\alpha$，可以计算卡方分布的阈值，即满足 $P(D^2({\bf x};\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) > \chi^2_{d,\alpha}) = \alpha$ 的 $\chi^2_{d,\alpha}$。如果某个数据点 ${\bf x}$ 的马氏距离的平方超过了这个阈值，就将其判定为离群点。

需要注意的是，多元正态分布的均值向量和协方差矩阵需要通过样本数据进行估计。通常情况下，可以使用样本均值向量和样本协方差矩阵来作为真实的均值向量和协方差矩阵的估计值。此外，由于协方差矩阵可能是奇异的或者接近奇异的，为了避免计算逆矩阵时的数值问题，可以使用伪逆矩阵或者正则化方法来对协方差矩阵进行修正。