(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数.
时间: 2023-11-01 10:37:42 浏览: 40
我们先对幂级数进行求和,有:
$$\begin{aligned} \sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n} &= x \sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {n}{2^{n}}x^{n-1} + \sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {1}{2^{n}}x^{n} \\ &= x \sum \limits _{n=1}^{ \infty } \left( -\frac {x}{2} \right) ^{n-1} + \frac {1}{1+\frac {x}{2}} \\ &= \frac {1}{1+\frac {x}{2}} - \frac {x}{1+\frac {x}{2}} \end{aligned} $$
因此,幂级数的和函数为:
$$f(x) = \frac {1}{1+\frac {x}{2}} - \frac {x}{1+\frac {x}{2}}$$
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(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数
我们可以对幂级数进行求和,得到:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(n+1)}{2^n}x^n &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{2^n}x^n + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{2^n}x^n \\
&= \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{x}{2}\right)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^n}{2^n} \\
&= \frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} + \frac{1}{1+\frac{x}{2}} \\
&= \frac{1-x}{1+x/2}
\end{aligned}
$$
因此,幂级数的和函数为 $\frac{1-x}{1+x/2}$。
(2)求幂级数\sum \limits _{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-1} \frac {(n+1)}{2^{n}}x^{n}的和函数.
我们可以先对幂级数进行求和,得到:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(n+1)}{2^n}x^n &= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{2^n}x^n + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2^n}x^n \\
&= x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^{n-1}}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n \\
&= x\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{2}} + \frac{-x/2}{1+\frac{x}{2}} \\
&= \frac{x-3x/2}{(1+x/2)^2} \\
&= \frac{x}{(1+x/2)^2}
\end{aligned}
$$
因此,幂级数的和函数为 $f(x) = \frac{x}{(1+x/2)^2}$。