证明矩阵的最小多项式互质是矩阵可对角化的充分必要条件

矩阵的最小多项式互质是一个重要的性质，它与矩阵是否能对角化密切相关。证明如下：

**必要性：**
如果一个方阵 \( A \) 可以通过相似变换化为对角矩阵 \( D \)，即存在可逆矩阵 \( P \) 使得 \( P^{-1}AP = D \)，那么 \( A \) 的特征值就是 \( D \) 中的对角元素。矩阵的最小多项式 \( m_A(\lambda) \) 定义为 \( (X - \lambda)^k + a_{k-1}(X - \lambda)^{k-1} + \cdots + a_0 \)，其中 \( k \) 是 \( A \) 的特征值的最大复数多重度。因为 \( A \) 和 \( D \) 相似，所以它们有相同的特征值。如果 \( A \) 可对角化，那么 \( m_A(\lambda) \) 必须能够分解成若干个线性因子 \( (X - \lambda_i) \)，每个 \( \lambda_i \) 对应 \( D \) 中的一个对角元素，这表示 \( m_A \) 的各系数 \( a_i \) 互质。

**充分性：**
反过来，如果我们有一个矩阵 \( A \)，其最小多项式 \( m_A(\lambda) \) 由互质的线性因子组成，这意味着 \( A \) 的特征值都是单重的。由于单重特征值对应于一维的不变子空间，我们可以构造对应的正交归一基向量，将 \( A \) 对角化。换句话说，存在一个可逆矩阵 \( P \) 使得 \( P^{-1}AP \) 是对角矩阵。

综上所述，矩阵的最小多项式互质是矩阵可对角化的充分必要条件。