已知X、Y的概率密度函数，a和C为常数，怎么求sqrt(X^2-2aXY+C)的概率密度函数

首先，由于X和Y的概率密度函数已知，我们可以使用卷积的方法来求出Z = XY 的概率密度函数。

假设X和Y是独立的，其概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则Z = XY 的概率密度函数为：

h(z) = ∫f(x)g(z/x)|x|dx

接下来，我们可以使用变量替换的方法，令U = X，V = Y/U，则有Y = UV，X = U，且Jacobian行列式为|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |u|。因此，Z的概率密度函数可以表示为：

h(z) = ∫f(u)g(v)|u|δ(z-uv)dudv

其中，δ(x)为Dirac Delta函数。接下来，我们可以使用傅里叶变换的方法来求出Z的概率密度函数的特征函数，即：

φ(t) = ∫h(z)e^(itx)dz

将h(z)代入上式，得：

φ(t) = ∫∫f(u)g(v)|u|δ(z-uv)e^(itz)dzdudv

交换积分顺序，得：

φ(t) = ∫f(u)e^(itu)∫g(v)|u|δ(z-uv)e^(itz)dzdudv

由于δ函数的性质，上式中的第二个积分可以化简为：

∫g(v)|u|δ(z-uv)e^(itz)dz = |u|g(z/tu)e^(-iz/tu)

将上式代入φ(t)中，得：

φ(t) = ∫f(u)e^(itu)|u|∫g(v)g(z/tu)e^(-iz/tu)dzdudv

将上式中的第二个积分代入第一个积分中，得：

φ(t) = ∫f(u)|u|g(uφ(t))du

其中，φ(t) = ∫g(v)e^(-ivt)dv为Y的特征函数。

现在，我们可以使用傅里叶反演公式来求出Z的概率密度函数，即：

h(z) = (1/2π)∫φ(t)e^(-itz)dt

将φ(t)代入上式，得：

h(z) = (1/2π)∫∫f(u)|u|g(v)g(u)e^(-iuz/t)e^(-ivt)dudvdt

交换积分顺序，得：

h(z) = (1/2π)∫∫f(u)|u|g(v)g(u)∫e^(-iuz/t)e^(-ivt)dt dudv

由于∫e^(-iuz/t)e^(-ivt)dt = 2πδ(zu)，上式中的第二个积分可以化简为：

∫e^(-iuz/t)e^(-ivt)dt = 2πδ(zu)

将上式代入h(z)中，得：

h(z) = ∫f(u)|u|g(z/u)du

至此，我们已经求出了Z的概率密度函数。接下来，我们可以使用类似的方法，将Z和C带入公式sqrt(X^2-2aXY+C)，并使用傅里叶变换和傅里叶反演的方法，求出sqrt(X^2-2aXY+C)的概率密度函数。