chebyshev多项式发展介绍

Chebyshev多项式是以俄罗斯数学家Chebyshev命名的一类特殊的正交多项式。它们在数学和物理学中有广泛的应用。

Chebyshev多项式有两种类型：第一种是第一类Chebyshev多项式，通常记为$T_n(x)$，定义为在区间$[-1,1]$上满足以下递推关系的多项式：

$$T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x,$$
$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x), \quad n\geq 1.$$

第二种是第二类Chebyshev多项式，通常记为$U_n(x)$，定义为在区间$[-1,1]$上满足以下递推关系的多项式：

$$U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2x,$$
$$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x), \quad n\geq 1.$$

Chebyshev多项式具有许多优良的性质，例如它们是正交的，其系数易于计算，其在插值、逼近和差分方程中都有广泛的应用。因此，Chebyshev多项式发展在数值计算、信号处理、逼近论、微分方程数值解等领域中都有着广泛的应用。